课时作业50 利用空间向量证明平行与垂直一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案：D2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A.B.C.D.解析：因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．经验证，当n＝时，n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.答案：D3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )A．相交B．平行C．在平面内D.平行或在平面内解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D4．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，8\nM为BC的中点，则AM与PM的位置关系为( )A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.答案：C5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )8\nA．(1,1,1)B.C.D.解析：设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系，E(0,0,1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标.答案：C6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z8\n轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.答案：B二、填空题7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n·＝0，n·＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.答案：平行8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．解析：∵·＝0，·＝0.∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．答案：①②③9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．8\n解析：以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.答案：1三、解答题10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z8\n轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，所以·＝0－4＋4＝0，因此⊥，故BC1⊥AB1.(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，所以＝－，又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．8\n∵F为CD的中点，∴F.(1)∵＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，∴＝(＋)，又AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，∵CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，∴平面CDE⊥平面BCE. 在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD.(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB，若存在，请求出G的位置；若不存在，请说明理由．解：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.(1)＝，＝(0，a,0).·＝0，所以⊥，即EF⊥CD.(2)假设点G存在．设G(x,0，z)，8\n则＝，因为GF⊥平面PCB，则由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.所以G点坐标为，即G点为AD的中点．8
