课时作业69 二项式定理一、选择题1．(＋x2)3的展开式的常数项为( )A．1B．3C．－D.解析：设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝C()3－r(x2)r＝Cx－3＋3r，令－3＋3r＝0得r＝1，∴T2＝C＝3，选B.答案：B2．若(－)n的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为( )A．6B．10C．12D．15解析：展开式的第5项为C()n－4(－)4＝16Cxx－4＝16Cx－6，依题意知－6＝0，故n＝12.答案：C3．(ax＋)6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为( )A．3B.C．3或D．3或－解析：该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝x2dx＝＝－＋＝.答案：B4．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )A．－3B．－25\nC．2D．3解析：求展开式中的常数项，即分以下两种来源：第一个因式取x2，第二个因式取得：1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2；故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：D5．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于( )A．27B．28C．7D．8解析：令x＝－1得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝28 ①；令x＝－3得a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝0 ②.①－②得2(a1＋a3＋…＋a11)＝28，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝7.答案：C6．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．－2B．－1C．1D．2解析：令x＋2＝1，所以x＝－1，将x＝－1代入(x2＋1)·(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11得[(－1)2＋1](－2＋1)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2×(－1)＝－2.答案：A二、填空题7．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析：(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，故a＋b＝41＋29＝70.答案：708．(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是________．解析：(＋x)(1－)4的展开式中含x的项为·(－1)4C()4＋x·C(－)0＝3x.答案：39．对任意实数x，有(x－1)4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4，则a3的值为________．5\n解析：∵(x－1)4＝(x－3＋2)4，又(x－1)4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(a－3)4，∴a3＝C×2＝8.答案：8三、解答题10．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数．解：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.∴n＝8或n＝1(舍)．(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，r＝0,1，…，8.∴第三项的二项式系数为C＝28.第三项系数为2·C＝7.(3)令4－r＝1，得r＝4，∴含x项的系数为4·C＝.11．设(x2－x－1)50＝a100x100＋a99x99＋a98x98＋…＋a0.(1)求a100＋a99＋a98＋…＋a1的值；(2)求a100＋a98＋a96＋…＋a2＋a0的值．解：(1)令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a100＋a99＋a98＋…＋a1＋a0＝1，所以a100＋a99＋a98＋…＋a1＝0.(2)令x＝－1，得a100－a99＋a98－…－a1＋a0＝1①而a100＋a99＋a98＋…＋a1＋a0＝1②由(①＋②)÷2得a100＋a98＋a96＋…＋a2＋a0＝1.5\n1．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )A．45B．60C．120D．210解析：由题意可得f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C＋CC＋C·C＋C＝20＋60＋36＋4＝120，故选C.答案：C2．(2014·山东卷)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析：Tr＋1＝C(ax2)6－r()r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，故Ca3b3＝20，所以ab＝1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1或a＝b＝－1时，等号成立．答案：23．(2014·安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如右图所示，则a＝________.解析：由图得：a0＝1，a1＝3，a2＝4，由二项式定理得：C＝3，C()2＝4.即解得a＝3，n＝9.答案：34．从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|r∈N，r≤n}．5\n(1)证明：f(r)＝f(r－1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．解：(1)证明：∵f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝，∴f(r－1)＝·＝.则f(r)＝f(r－1)成立．(2)设n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.令f(r)≥f(r－1)，则≥1，则r≤k＋(等号不成立)．∴当r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立．反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)<f(r－1)成立．∴f(k)＝C最大，即(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．5
