专题一 高考中选择题、填空题解题能力大突破 【专题定位】1．选择题、填空题的分值约占试题总分值的“半壁江山”，得选择题可谓“得天下”．选择题看似简单，但要想获取高分，也不是一件轻而易举的事情，所以，在临近高考时适当加大小题训练的力度非常必要．2．近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着力考查学生的解题能力．3．填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．【应考策略】1．选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．2．选择题的主要解题技巧和方法有：①排除法；②特殊值法；③定义法；④数形结合法；⑤直接判断法．3．填空题虽题小，但跨度大、覆盖面广、形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力，要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．4．填空题的主要解题技巧和方法有：①直接法；②图解法；③特例法；④整体代换法；⑤类比、归纳法．直接法：所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”，直接法实际是一种“直接肯定”的解题策略．直接法是解选择、填空题最基本、最常规的方法，也是最重要的方法．【例1】►(直接法)(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )．44\nA．3B．6C．8D．10解析 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案 D【例2】►(直接法)(2012·浙江)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )．A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)解析 因为∁RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．答案 B【例3】►(直接法)(2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析 解不等式得集合A，B，再利用交集建立方程求解．因为|x＋2|＜3，即－5＜x＜1，所以A＝(－5,1)，又A∩B≠∅，所以m＜1，B＝(m,2)．由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.答案 －1 1命题研究：集合的交、并、补的基本运算常与一次不等式、含绝对值的不等式、一元二次不等式与函数定义域相结合命题.[押题1]设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )．A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]答案 A [M＝{x|x2＋x－6＜0}＝{x|－3＜x＜2}，由图知：M∩N＝{x|1≤x＜2}．][押题2]若集合A＝，B＝{x||x＋1|≥2}，则(∁RA)∩B＝( )．A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3]∪(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 B [由log4x≤，得即0＜x≤2，故A＝{x|0＜x≤2}，由补集的定义，可知∁RA＝{x|x≤0或x＞2}；由|x＋1|≥2，得x＋1≤－2或x＋1≥2，解得x≤－3或x≥1，所以B＝{x|x≤－3或x≥1}，所以(∁RA)∩B＝{x|x≤－3或x＞2}．]44\n【例4】►(2012·湖南)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( )．A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．答案 C【例5】►(2012·辽宁)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )．A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0解析 利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0”．答案 C【例6】►(2012·山东)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有0＜a＜1或1＜a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.答案 A命题研究：四种命题p∧q、p∨q、綈p及全称命题、特称命题真假的判断，一般命题p和含一个量词的命题p的否定问题是常用逻辑用语的重点，也是高考考查的热点.[押题3]下列说法正确的是( )．A．函数f(x)＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)B．函数f(x)＝xα(α＜0)在其定义域上是减函数C．命题“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是：“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”D．给定命题p，q，若綈p是假命题，则“p或q”为真命题答案 D [对于选项A，函数f(x)＝ax44\n＋1的图象恒过定点(0,2)，故A错误；对于选项B，当α＝－1时结论错误，故B错误；对于选项C，命题“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是：“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错误．故选D.][押题4]已知α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D [当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin390°＝sin30°＝＜sin60°＝，故sinα＞sinβ不成立；当sinα＞sinβ时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件，故选D.]【例7】►(2012·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．解析 由1－2log6x≥0得，log6x≤，解得0＜x≤.答案 (0，]【例8】►(2012·江西)若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )．A．lg101B．2C．1D．0解析 f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝1＋1＝2.答案 B命题研究：1.函数的定义域和值域，一般和一次不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式的求解相结合.2.对函数解析式的考查常考查分段函数求值.[押题5]函数f(x)＝ln(x2－3x＋2)的定义域为________．解析 由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1.答案 (－∞，1)∪(2，＋∞)[押题6]已知函数f(x)＝则f(log23)＝( )．A．1B.C.D.答案 D [因为log23＜4，所以f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log26)，同理得f(log26)＝f(log26＋1)＝f(log212)＝f(log224)，而log224＞log216＝4，所以f(log23)＝log224＝2－log224＝.]44\n【例9】►(2011·新课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )．A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|解析 y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故答案为B.答案 B【例10】►(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析 利用复合函数的单调性的判定法则，结合函数图象求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.答案 (－∞，1]【例11】►(特例法)(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.答案 －10命题研究：1.函数的奇偶性，一般和含参的函数相结合，涉及函数的奇偶性的判断，函数图象的对称性，以及与其有关的综合计算.2.函数的单调性，一般考查单调性的判定，单调区间的探求、单调性的应用等.[押题7]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2011)＋f(2013)＝( )．A．1B．2C．－1D．－2答案 A [由已知得，f(2011)＋f(2013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.]44\n[押题8]设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a＝________.解析 根据偶函数定义，有f(－x)＝f(x)，即(－x＋1)(－x＋a)＝(x＋1)(x＋a)．取特殊值，x＝1，则(－1＋1)(－1＋a)＝(1＋1)(1＋a)，解得a＝－1.答案 －1排除法：排除法，也称筛选法(或淘汰法)结合估算、特例、逻辑分析等方法否定三个选项，从而得到正确的选项．排除法适用于不易直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得到正确的选项，它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．【例12】►(排除法)(2012·四川)函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )．解析 当a＞1时，函数y＝ax－是增函数，且图象是由函数y＝ax的图象向下平移(0＜＜1)个单位长度得到，排除A，B；当0＜a＜1时，排除C.故选D.答案 D【例13】►(2011·新课标全国)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A．2B．4C．6D．8解析 令1－x＝t，则x＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.又y＝2sinπx＝2sinπ(1－t)＝2sinπt.在同一坐标系下作出y＝和y＝2sinπt的图象．44\n由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标之和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.答案 D【例14】►(排除法)(2012·山东)函数y＝的图象大致为( )．解析 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A；令y＝0得cos6x＝0，所以6x＝＋kπ(k∈Z)，x＝＋π(k∈Z)，函数的零点有无穷多个，排除C；函数在y轴右侧的第一个零点为，又函数y＝2x－2－x为增函数，当0＜x＜时，y＝2x－2－x＞0，cos6x＞0，所以函数y＝＞0，排除B.选D.答案 D命题研究：1.函数的图象主要考查作图、识图、用图三方面的综合能力.2.函数图象和图象变换主要涉及函数的单调性、对称性、最值、定义域、值域等知识，多以初等函数为载体.[押题9]函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )．答案 C [函数f(x)＝1＋log2x的图象是把函数y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，函数f(x)的图象与x轴的交点坐标为，选项B、C、D中的图象均符合；函数g(x)＝2－x＋1＝x－1的图象是把函数y＝x的图象向右平移一个单位长度得到的，函数g(x)的图象与y44\n轴的交点坐标为(0,2)，选项A、C符合要求．故正确选项为C.][押题10]函数y＝的图象大致是( )．答案 D [由函数是奇函数排除A、B，由x＝±1时，y＝0排除C，选D.]【例15】►(构造法)(2012·浙江)设a＞0，b＞0.( )．A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b解析 若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·ln2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，其余选项用同样方法排除．答案 A【例16】►(排除法)(2012·全国)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则( )．A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x解析 因为lnπ＞lne＝1，log52＜log55＝1，所以x＞y，故排除A，B；又因为log52＜log5＝，e－＝＞，所以z＞y，故排除C.选D.答案 D[押题11]已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为( )．A．a＜b＜cB．a＜c＜b44\nC．b＜a＜cD．c＜a＜b答案 C [因为b＝log1.10.7＜log1.11＝0,0＝log0.71＜log0.70.9＜log0.70.7＝1，所以0＜a＜1，c＝1.10.9＞1.10＝1.所以b＜a＜c.][押题12]已知函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围是( )．A．(8，＋∞)B．(－∞，0)∪(8，＋∞)C．(0,8)D．(－∞，0)∪(0,8)答案 A [若x0≤0，得3x0＋1＞3，∴x0＋1＞1，x0＞0.此时无解．若x0＞0，得log2x0＞3，∴x0＞8.综上所述，x0＞8.]数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略．图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．【例17】►(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )．A．0B．1C．2D．3解析 法一 因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋1－2＝1，即f(0)·f(1)＜0，且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B正确．答案 B【例18】►已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．44\n解析 函数可表示为y＝图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k∈(0,1)∪(1,2)．答案 (0,1)∪(1,2)【例19】►(2012·福建)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是( )． A．①③B．①④C．②③D．②④解析 ∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)＜0，得1＜x＜3，由f′(x)＞0，得x＜1或x＞3，∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a＜b＜c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc＞0，y极小值＝f(3)＝－abc＜0，∴0＜abc＜4.∴a，b，c均大于零，或者a＜0，b＜0，c＞0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图，∴f(0)＜0，∴f(0)f(1)＜0，f(0)f(3)＞0，∴正确结论的序号是②③.答案 C44\n[押题13]已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )．A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1答案 D [由f(x)＝x＋2x＝0，得－x＝2x，则其零点x1＜0；由g(x)＝x－logx＝0，得x＝logx，则其零点0＜x2＜1；由h(x)＝log2x－＝0，得＝log2x，则其零点x3＞1.因此x1＜x2＜x3.][押题14]已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【押题14】解析 函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0＜m＜1即可使方程f(x)＝m有三个相异的实数根，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．答案 (0,1)【例20】►(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )．A．64B．32C．16D．8解析 求导得y′＝－x－(x＞0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.答案 A44\n[押题15]如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．解析 由y′＝4x3－1，得4x3－1＝3，解得x＝1，此时点p的坐标为(1,0)．答案 (1,0)【例21】►(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )．解析 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图象知选C.答案 C【例22】►(2012·陕西)设函数f(x)＝xex，则( )．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，所以选D.答案 D命题研究：1.利用导数求函数的单调区间、极值和最值在选择题、填空题中也常出现.2.求多项式函数的导数，求解函数解析式中含参数的值或取值范围在选择题、填空题中也常考查.44\n[押题16]已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是( )．A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，极大值f(1)＝1B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－，极小值f(1)＝1C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，无极大值D．函数f(x)有极大值f(1)＝1，无极小值答案 A [由f′(x)＝′＝＝0，得x＝－2或x＝1，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，故x＝－2是函数f(x)的极小值点，且f(－2)＝－，x＝1是函数f(x)的极大值点，且f(1)＝1.][押题17]已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或者2＜t＜3.答案 (0,1)∪(2,3)【例23】►(2012·山东)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )．A.B.C.D.解析 因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ＜0，所以cos2θ＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sinθ＝.答案 D【例24】►(2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．44\n解析 因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin2＝，cos2＝，所以sin＝sin＝×＝.答案 命题研究：运用三角公式化简、求值是必考内容，主要考查三角函数的定义、平方关系、两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用、变形应用，及基本运算能力.[押题18]若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝( )．A．－B．－C．－2D.答案 C [∵点P在直线y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.][押题19]已知＝－，则cosα＋sinα等于( )．A．－B.C.D．－答案 D [＝＝＝(sinα＋cosα)＝－，∴sinα＋cosα＝－.]【例25】►(排除法)(2010·新课标全国)如图，44\n质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )．解析 法一 (排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A，D，又∵d表示点P到x轴距离，∴图象开始应为下降的，∴排除B，故选C.法二 由题意知P，∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2，当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.答案 C【例26】►(2011·新课标全国)设函数f(x)＝sin＋cos，则( )．A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称解析 ∵f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x，当0＜x＜时，0＜2x＜π，44\n故f(x)＝cos2x在单调递减．又当x＝时，cos＝－，因此x＝是y＝f(x)的一条对称轴．答案 D【例27】►(2012·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )．A．2－B．0C．－1D．－1－解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴sin∈.∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.答案 A命题研究：求函数的最小正周期，单调区间、奇偶性、定义域、值域以及复合函数的有关性质是命题的方向，多以图象变换考题为主.[押题20]已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f(x＋)＝f成立，且f()＝1，则实数b的值为( )．A．－1B．3C．－1或3D．－3答案 C [f＝f，即函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，则f＝2＋b或f＝b－2.又f＝1，所以b＋2＝1或b－2＝1，即b＝－1或3.][押题21]函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C关于直线x＝π对称；②图象C关于点对称；44\n③函数f(x)在区间内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案 ①②③【例28】►(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )．A．2B．2C.D.解析 依题意可得sin2A·sinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB＝sinA，∴＝＝，故选D.答案 D【例29】►(2012·湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.解析 ∵(a＋b)2－c2＝ab，∴cosC＝＝－，又因为C为△ABC的内角，所以C＝.答案 命题研究：1.利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合命制，以选择题或填空题的形式进行考查.2.利用正弦定理、余弦定理解三角形问题也常与平面向量、三角形的面积等相结合进行命题，以选择题或填空题的形式呈现.[押题22]在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝( )．A．30°B．60°C．120°D．30°或150°答案 A [利用正弦定理可得＝，∴sinC＝，∴∠C＝30°或150°.又∵∠A＝45°，且A＋B＋C＝180°，∴∠C＝30°.]44\n[押题23]在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)满足p∥q，则C＝________.解析 由p∥q，得(a2＋b2－c2)＝4S＝2absinC，即＝sinC，由余弦定理的变式，得cosC＝sinC，即tanC＝，因为0＜C＜π，所以C＝.答案 【例30】►(验证法)(2012·全国)在△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )．A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b解析 由题可知||2＝22＋12＝5，因为AC2＝AD·AB，所以AD＝＝，利用各选项进行验证可知选D.答案 D【例31】►(2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．解析 建立平面直角坐标系如图所示，设P(0，y)，C(0，b)，B(1，b)，A(2，0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|＋3|2＝25＋(3b－4y)2＝16y2－24by＋9b2＋25(0≤y≤b)．当y＝－＝b时，|＋3|min＝5.答案 5【例32】►(排除法)(2012·江西)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量44\n绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )．A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)解析 画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D，代入A，cos∠QOP＝＝＝－，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠－，故选A.答案 A[押题24](2012·安庆模拟)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析 采用特殊位置，可令△ABC为正三角形，则根据＋＝－2可知，O是△ABC的中心，则OA＝OB＝OC，所以△AOB≌△AOC，即△AOB与△AOC的面积之比为1.答案 1[押题25]在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.解析 ∵＝2，∴＝2，∴P为△ABC的重心．又知＋＝2，∴·(＋)＝2·＝－4||2＝－.答案 －44\n特例法：根据题设和各选项的具体情况，选取满足条件的特殊值、特殊集合、特殊点、特殊图形、特殊位置状态等，针对各选项进行代入对照或检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法．运用特例法时，要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选择某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到排除所有的错误选项得到正确选项为止．【例33】►(特例法)(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析 因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.答案 9【例34】►(特例法)(2012·广州模拟)若函数f(x)＝x2＋(2a＋1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( )．A.∪B.C.D.解析 取a＝0，则函数化为f(x)＝x2＋|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B和C；再取a＝1，则函数化为f(x)＝x2＋3|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.故选D.答案 D命题研究：1.与指数、对数函数相结合比较大小.2.简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，主要是与函数的定义域、值域相结合的试题.3.不等式恒成立问题也是高考常考的.[押题26]若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是( )．A.＞B．|a|＞|b|44\nC.＋＞2D．a＋b＞ab答案 C [∵b＜a＜0，∴＜＜0,0＜|a|＜|b|，a＋b＜0＜ab，＋＞2＝2.故应选C.][押题27]已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b的解集为( )．A．{x|－2＜x＜1}B．{x|－1＜x＜2}C.D.答案 D [由题意可知a＞0，且－2,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则解得，所以不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b可化为－2ax2＋ax＋a＞－2a(2x－1)＋a，整理得2x2－5x＋2＜0，解得＜x＜2.]【例35】►(特例法)(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )．A．lg(x2＋)＞lgx(x＞0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＞1(x∈R)解析 取x＝，则lg(x2＋)＝lgx，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.应选C.答案 C【例36】►(2010·四川)设a＞b＞c＞0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )．A．2B．4C．2D．5解析 原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋44\n＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a＝，即a＝2b＝5c＝时“＝”成立，故原式的最小值为4，选B.答案 B命题研究：基本不等式≥(a，b＞0)与不等式ab≤(a，b∈R)的简单应用是高考常考问题，常以选择题、填空题的形式考查，在解答题中也经常出现.[押题28]若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )．A.＞B.＋≤1C.≥2D.≤答案 D [取a＝1，b＝3分别代入各个选项，易得只有D选项满足题意．][押题29]已知x＞0，y＞0，xlg2＋ylg8＝lg2，则＋的最小值是________．解析 因为xlg2＋ylg8＝lg2x＋lg23y＝lg(2x·23y)＝lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值是4.答案 4【例37】►(2012·广东)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )．A．12B．11C．3D．－1解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x44\n＋z经过点A时，z取得最大值．由⇒此时，z＝y＋3x＝11.答案 B【例38】►(2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )．A.B．1C.D．2解析 可行域如图中的阴影部分所示，函数y＝2x的图象经过可行域上的点，由得即函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1，应选B.答案 B命题研究：可行域是二元一次不等式组表示的区域，求目标函数(一般是简单函数)的最优解问题或求含参数的参数值或范围.[押题30]甲、乙、丙三种食物的维生素A、维生素D的含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/千克)607040维生素D(单位/千克)804050成本(元/千克)1194某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D，则成本最低为( )．A．84元B．85元C．86元D．88元答案 B [设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得：即作出可行域(如图)，当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得x＝5，y44\n＝2，故点A的坐标为(5,2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85(元)．][押题31]若实数x，y满足不等式组目标函数z＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是( )．A．－2B．0C．1D．2答案 D [要使目标函数z＝x－2y取得最大值，只需直线y＝x－在y轴上的截距－最小，当目标函数z＝x－2y＝2时，其对应的直线在y轴上的截距为－1，过点(2,0)，结合图形知，点(2,0)为直线x＝2与x＋2y－a＝0的交点，则2＋2×0－a＝0，得a＝2，选故D.]【例39】►(排除法)(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A．289B．1024C．1225D．1378解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，则由bn＝n2(n∈N*)可排除A，D.又由an＝(n＋1)知an必为奇数，故选C.答案 C【例40】►(2012·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.44\n解析 设等差数列的公差为d，则2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．答案 1 n(n＋1)命题研究：1.利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题.利用等差数列的性质解题时要进行灵活变形，尤其是中项公式的应用.2.在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题.[押题32]已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11＜0，a10·a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( )．A．20B．17C．19D．21答案 C [由a9＋3a11＜0得，2a10＋2a11＜0，即a10＋a11＜0，又a10·a11＜0，则a10与a11异号，因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是一个递减数列，则a10＞0，a11＜0，所以S19＝＝19a10＞0，S20＝＝10(a10＋a11)＜0.][押题33]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a5＝8，则S6＝________.解析 由a2＝2，得a1＋d＝2，由a1＋a5＝8＝2a3，即a3＝4，得a1＋2d＝4，解得a1＝0，d＝2.所以S6＝0×6＋×2＝30.答案 30【例41】►(特例法)(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )．A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)解析 对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，….则Y＝0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A，B，C.答案 D【例42】►(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，若a1＞0,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.解析 根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．因为数列为递增数列，且a144\n＞0，所以q＞1，由2(an＋an＋2)＝5an＋1得2＝5，解得q＝2.答案 2命题研究：以客观题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n次和公式、等比中项的性质与证明等，难度中等偏下.[押题34]若数列{an}满足：lgan＋1＝1＋lgan(n∈N*)，a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为( )．A．4B．3C．2D．1答案 A [由lgan＋1＝1＋lgan(n∈N*)可得lgan＋1－lgan＝lg＝1(n∈N*)，即＝10，an＞0，an＋1＞0所以数列{an}是以q＝＝10(n∈N*)为公比的正项等比数列，由等比数列的定义，可知a4＋a5＋a6＝a1q3＋a2q3＋a3q3，所以lg(a4＋a5＋a6)＝lgq3(a1＋a2＋a3)＝lgq3＋lg(a1＋a2＋a3)＝3lgq＋lg10＝4.][押题35]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．解析 因为an＝a1qn－1(q≠0)，又4S2＝S1＋3S3，所以4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得：q＝.答案 【例43】►(2012·天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )．A．[1－，1＋]B．(－∞，1－，]∪[1＋，＋∞)C．[2－2，2＋2]D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)解析 由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2，故选D.答案 D【例44】►(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x44\n＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析 设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.答案 [押题36]若点P(1,1)为圆C(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )．A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0答案 D [由题易得，圆心C(3,0)，kPC＝－，∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.][押题37]若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为2，则k＝________.解析 易知圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，由于圆的半径是3，因此只要圆心(2,2)到直线y＝kx的距离等于，即可保证圆上恰有三个不同的点到直线l的距离等于2，所以＝，即2(k2－2k＋1)＝1＋k2，即k2－4k＋1＝0，解得k＝2±.答案 2－或2＋【例45】►(2010·天津)过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.解析 依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p44\n，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，p＝2.答案 2【例46】►(2012·江西)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析 依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝.答案 命题研究：1.对椭圆定义的考查，将重视与焦点三角形的结合，利用椭圆的定义及三角形的边角关系建立方程组去解决相关的问题.2.对椭圆标准方程的考查，将侧重于结合椭圆基本量之间的关系，去求参数的值或点的坐标等相关问题.3.对椭圆几何性质的考查，利用椭圆的几何性质求离心率及其范围等相关的问题.[押题38]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )．A.B.C.D.答案 B [由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e＞0，故所求的椭圆的离心率为.][押题39]已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝＋，则此椭圆的方程是________．解析 由于直线AB的斜率为－，故直线OP的斜率为－，直线OP的方程为y＝－x，与椭圆方程联立得＋＝1，解得x＝±a.根据PF1⊥x轴，取x＝－a，从而－a＝－c，即a＝c.又|F1A|＝a＋c＝＋，故c＋c＝＋，解得c＝44\n，从而a＝.所以所求的椭圆方程为＋＝1.答案 ＋＝1【例47】►(2012·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是－＝1.答案 A【例48】►(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.解析 依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，|F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得＝＝2，|F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝2×3＝6,2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6.答案 6命题研究：1.双曲线定义的考查，常常是利用两个定义去求动点的轨迹方程或某些最值问题.2.双曲线标准方程的考查，常常是利用基本量求标准方程或去解决其他相关的问题.3.双曲线性质的考查，主要是离心率与渐近线这两个热点问题.[押题40]点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )．A．2B．3C．4D．5答案 D [设双曲线的焦距为2c，根据对称性不妨设点P在双曲线的左支上，因为∠F1PF2＝90°，则4c2＝|PF1|2＋|PF2|2.设|PF1|、|PF2|、|F1F2|成等差数列，则2|PF2|＝2c44\n＋|PF1|且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，代入4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝(2c－4a)2＋(2c－2a)2，化简整理得：c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或者c＝5a，故e＝＝5.][押题41]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．解析 根据已知得点P的坐标为，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝，则|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案 y＝±x【例49】►(2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析 利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解．由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．又解得或由图知，点B的坐标为，∴|BF|＝－(－1)＝.答案 【例50】►(2011·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )．44\nA.B.C．－D．－解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由消去y得x2－5x＋4＝0，x＝1或x＝4，因此点A(1，－2)、B(4,4)，＝(0，－2)，＝(3,4)，cos∠AFB＝＝＝－.选D.答案 D[押题42]在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )．A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)答案 B [由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求点的坐标是(1,2)．][押题43]过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的投影为C，若＝，·＝12，则p的值为________．解析 设A，B，F，则C由＝，得＝(－p，yB)，所以t2＝3p2，yB＝－t.由＝，＝(0,2t)，·＝12，得4t2＝12，即t2＝3，故p＝1.答案 1【例51】►(2012·广东)某几何体的三44\n视图如图所示，它的体积为( )．A．72πB．48πC．30πD．24π解析 该几何体是圆锥和半球的组合体，则它的体积V＝V圆锥＋V半球＝π·32·4＋·π·33＝30π.答案 C【例52】►(2012·安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析 通过三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱．所以该几何体的表面积是2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×4＋4×5＝92.答案 92[押题44]如图所示，三棱锥PABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是( )．44\n答案 D [三棱锥的正(主)视图，即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形，结合题设条件给出的数据进行分析，可知D符合要求.故选D.][押题45]在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如右图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )．答案 D [通过正(主)视图及俯视图可看出几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D.]【例53】►(2012·江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.解析 由题意得VABB1D1D＝VABDA1B1D1＝××3×3×2＝6(cm3)．44\n答案 6【例54】►(2012·山东)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．解析 结合体积变换求三棱锥体积．VADED1＝VEADD1＝×S△ADD1×CD＝××1＝.答案 命题研究：以选择题或填空题的形式求空间几何体的表面积与体积(特别以三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱为重点)．[押题46]如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )．A．16 B．8C．4 D.答案 B [设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1D＝，BC1＝，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得解得故此三棱柱的体积为V＝×8×sin60°×4＝8.]【例55】►(2012·四川)下列命题正确的是( )．A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行44\nD．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析 对于A，位于某一个平面内的两条相交直线与该平面所成的角均为零，因此选项A不正确；对于B，当平面α⊥平面β，α∩β＝l时，在平面α内作直线m⊥l，n⊥l，垂足分别为A、B，分别在直线m、n上取AD＝AE＝BF，显然此时点D，E，F到平面β的距离相等，但此时α∩β＝l，因此选项B不正确；对于C，由定理“如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于这两个平面的交线”得知，选项C正确；对于D，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，但此时平面ABB1A1与平面BCC1B1相交，因此选D不正确．综上所述，选C.答案 C【例56】►(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析 对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.答案 B[押题47]如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )．A．①②B．①②③C．①D．②③答案 B [对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．][押题48]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：44\n①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析 由线面平行的定义及性质知①正确；对于②，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n可能平行，也可能异面，故②错；对于③，由可知n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故③正确；由面面平行的性质知④正确．答案 ①③④【例57】►(2012·山东)执行右面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( )．A．2 B．3C．4 D．5解析 当a＝4时，第一次P＝0＋40＝1，Q＝3，n＝1，第二次P＝1＋41＝5，Q＝7，n＝2，第三次P＝5＋42＝21，Q＝15，n＝3，此时P≤Q不成立，输出n＝3.答案 B【例58】►(2011·新课标全国)执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )．44\nA．120B．720C．1440D．5040解析 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.答案 B命题研究：以程序框图为载体结合数列、函数、统计等进行命题，主要考查条件结构和循环结构.[押题49]如图所示，则程序框图所输出的S＝( )．A.B.C.D.答案 C [注意n＝2开始即可，n＝2，S＝0＋＝；n＝3，S＝＋＝；n＝4，S＝＋＋＝.][押题50]执行如图所示的程序，输出的S的值为________．解析 由题可知，n＝1，S＝0＋sin＝；n＝2，S＝＋sin＝；n＝3，S＝＋sin＝；n＝4，S＝＋sin＝；n＝5，S＝＋sin＝0；n＝6，S＝0＋sin＝0；n＝7，S＝0＋sin＝；n＝8，S＝＋sin＝…由此可以推出44\nS的值呈周期性变化，且周期为6，又2011＝6×335＋1，故输出的S的值为.答案 【例59】►(2012·山东)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )．A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析 z＝＝＝＝3＋5i.答案 A【例60】►(2012·江苏)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析 ∵a＋bi＝＝＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8.答案 8命题研究：以选择题、填空题形式考查复数的概念和代数形式的运算等基础知识，包括实部与虚部、虚数与纯虚数，模与复数所在的象限等.[押题51]已知复数z1满足(z1－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，若z1·z2是实数，则z2＝________.解析 ∵(z1－2)·(1＋i)＝1－i，∴z1＝＋2＝2－i.由题意设z2＝a＋2i，∴z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.答案 4＋2i【例61】►(2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．44\n解析 2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90(个)，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9(个)，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．答案 (1)90 (2)9×10n【例62】►(2012·陕西)观察下列不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…照此规律，第五个不等式为________．解析 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋＜(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.答案 1＋＋＋＋＋＜命题研究：以填空题的形式考查“合情推理”，一般是给出新定义的概念或运算法则，运用新定义的概念或运算法则对具体的集合、函数、数列、不等式进行总结归纳．[押题52]已知x∈(0，＋∞)，观察下列式子：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3…类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为________．解析 由观察可得：x＋＝＋＋…＋≥(n＋1)·＝(n＋1)·＝n＋1，则a＝nn.答案 nn[押题53]对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝m·n.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是________．解析 若a，b同奇偶，则12＝a＋b44\n＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的5种情况前后数字均可以交换位置，每种情况均含2个元素，最后1种情况只有1个元素(6,6)，这时共有2×5＋1＝11(个)元素；若a，b一奇一偶，则12＝1×12＝3×4,2种情况前后数字均可以交换位置，这时有2×2＝4(个)元素．所以集合M中共有11＋4＝15(个)元素．答案 15 【例63】►(2010·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )． A.B.C.D.解析 由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为＝.答案 B【例64】►(2010·江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝＝＝7.∴s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2＋(x5－)2]＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝.答案 命题研究：1.以选择题或填空题形式考查分层抽样与系统抽样，难度不大.2.用样本估计总体是高考的重点，主要考查频率直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差等，题型为选择题或填空题.[押题54]某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )．A．800B．1000C．1200D．150044\n答案 C [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×＝1200.][押题55]样本容量为1000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算，x的值为________，样本数据落在[6,14)内的频数为________．解析 0.02＋0.08＋x＋2×0.03＝⇒x＝0.09，样本数据落在[6,14)内的频数为(0.08＋0.09)×4×1000＝680.答案 0.09 680【例65】►(2010·湖南)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )．A.＝－10x＋200B.＝10x＋200C.＝－10x－200D.＝10x－200解析 y与x负相关可知只有A、C满足条件，又当x＞0时，选项C中恒小于0，根据实际意义排除C，只有A正确．答案 A命题研究：1.对独立性检验，要了解基本思想和步骤，并且由此确定两类事件的相关程度，考查难度不会很大，题目类型一般是解答题.2.线性回归分析是常见考点，一般考查对线性回归方程的理解和应用，有时在选择题中也会考查相关系数的性质，难度不大.[押题56]在国家鼓励节能降耗精神的指引下，某企业提供了节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．若根据表3提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下表中t的值为________.x3456y2.5t44.544\n解析 由表中数据求得＝4.5，又点(，)在线性回归方程＝0.7x＋0.35上，代入解得＝3.5，所以2.5＋t＋4＋4.5＝4×3.5，解得t＝3，故填3.答案 3【例66】►(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．A.B.C.D.解析 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有4×5＝20(个)；若个位数为偶数时，这样的两位数共有5×5＝25(个)；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有5个．于是，所求概率为＝.答案 D【例67】►(2012·江苏)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数例，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析 由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.答案 命题研究：古典概型的试题常以实际问题为背景或者与其他部分的知识相结合命制，要学会分析实际问题的含义，会正确应用数学的综合知识解决问题.[押题57]从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻排列的概率为( )．A.B.C.D.答案 B [从5张卡片中任取2张共有10个基本事件，即AB，AC，AD，AE，BC，BD，44\nBE，CD，CE，DE，其中按字母顺序相邻排列的情形有4种：AB，BC，CD，DE，故所求事件的概率P＝＝.][押题58]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)，则向量p与q共线的概率为________．解析 向量p与q共线得6m＝3n，即2m＝n，符合要求的(m，n)有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，则向量p与q共线的概率为＝.答案 【例68】►(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A．1－ B.－C. D.解析 设扇形的半径为2，其面积为＝π，其中空白区域面积为π－4×＝2，因此此点取自阴影部分的概率为＝1－.答案 A命题研究：以选择题或填空题形式考查几何概型，可与二元一次不等式组所表示的平面区域、定积分、向量等知识交汇考查基本概念，基本运算、难度中等.[押题59]已知函数f(x)＝－3x2＋ax＋b，若a，b都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f(1)＞0的概率是________．44\n解析 由f(1)＞0得－3＋a＋b＞0，即a＋b＞3.在0≤a≤4,0≤b≤4的约束条件下，作出a＋b＞3满足的可行域，如图，则根据几何概型概率公式可得，f(1)＞0的概率P＝＝.答案 44
