课时作业(四十六) 立体几何中的向量方法一、选择题1．平面α的一个法向量为n＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为m＝(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案：C解析：∵n＝(1,2,0)，m＝(2，－1,0)，∴m·n＝2－2＋0＝0，即m⊥n，∴α⊥β.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )A．2B．－4C．4D．－2答案：C解析：∵α∥β，∴＝＝，∴k＝4.3．(2015·济南模拟)已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )A．(1，－1,1)B．C.D．答案：B解析：对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，B正确；对于选项C，＝，·n＝·(3,1,2)＝6≠0，C不正确；对于选项D，＝，·n＝·(3,1,2)＝12≠0，D不正确．10\n故应选B.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为( )A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对答案：C解析：以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴＝(，1，－)，＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.5．在正四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为( )A.B．aC．D．a答案：B解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．10\n过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又∵△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.∴PH＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.6．(2015·昆明模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B－AC－M的余弦值为( )A.B．C.D．答案：A解析：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.10\n则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，∴＝(2,1,0)，＝，易求得平面AMC的一个法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量＝(0,0,2)，∴cos〈n，〉＝＝＝＝.∴二面角B－AC－M的余弦值为.二、填空题7．如图所示，在三棱锥ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．答案：60°解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．10\n设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．答案：平行解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴＝，＝，∴＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋.又∵是平面B1BCC1的法向量，10\n∴·＝·＝0，∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.9．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．答案：解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.三、解答题10．(2015·济南一模)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝2，PD＝，M为棱PB的中点．(1)证明：DM⊥平面PBC；(2)求二面角A－DM－C的余弦值．解：(1)证明：连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，故BC⊥PD，10\n所以BC⊥平面BDP，BC⊥DM.又PD＝BD＝，PD⊥BD，M为PB的中点，∴DM⊥PB.∵PB∩BC＝B，∴DM⊥平面PBC.(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，)，从而M，设n1＝(x，y，z)是平面ADM的法向量，则即所以可取n1＝(0，，－1)．同理，设n2＝(x0，y0，z0)是平面DMC的法向量，则即所以可取n2＝(，0，－1)，所以cos〈n1，n2〉＝.显然二面角A－DM－C的大小为钝角，所以二面角A－DM－C的余弦值为－.11．(2015·德州模拟)在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得几何体D－ABC.(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求二面角A－CD－M的余弦值．解：(1)证明：由条件，知AC＝2，∠CAB＝45°，AB＝4，由余弦定理，得CB2＝8，∴CB＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.10\n又∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ACD.(2)取AC的中点O，连接DO，MO，∵DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∵OM∥BC，AC⊥BC，∴OM⊥AC.建立如图所示的空间直角坐标系，∴M(0，，0)，C(－，0,0)，D(0,0，)．∴＝(，，0)，＝(，0，)．设n1＝(x，y，z)为平面CDM的法向量，则即令x＝－1，得n1＝(－1,1,1)．由题意，得n2＝(0,1,0)为平面ACD的一个法向量，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∵二面角A－CD－M为锐角，∴二面角A－CD－M的余弦值为.12．(2015·衡水二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求点B到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出10\n的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，则PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，cos〈，〉＝＝.∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，设平面PDC的一个法向量为μ＝(x，y，z)，则取z＝1，得μ＝(1,1,1)．∴B点到平面PCD的距离d＝＝.(3)存在．设＝λ(0＜λ＜1)，∵＝(0,1，－1)，∴＝(0，λ，－λ)＝－，∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，∴二面角Q－AC－D的余弦值为，∴|cos〈m，n〉|＝＝，10\n得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)．所以存在点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为，此时＝.10
