课后限时集训(二十五) 任意角、弧度制及任意角的三角函数建议用时：40分钟一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C [由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．]2．若45°角的终边上有一点(a,4－a)，则a＝( )A．2B．4C．－2D．－4A [由题意知＝tan45°＝1，解得a＝2，故选A．]3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为( )A．(1，)B．(，1)C．(，)D．(1,1)D [设P(x，y)，则sinα＝＝sin，∴y＝1.又cosα＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．]4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝，则m等于( )A．－3B．3C．D．±3B [sinθ＝＝，且m＞0，解得m＝3.]5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2B．4C．6D．8C [设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.]6．sin2·cos3·tan4的值( )A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在\nA [∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.]二、填空题7．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.120°或－240° [因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]8．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________． [设扇形半径为r，弧长为l，则解得]9．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．(－2,3] [由cosα≤0，sinα＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．则有解得－2＜a≤3.]三、解答题10．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．[解] (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝－；当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝.(2)当a＞0时，sinθ＝∈，cosθ＝－∈，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＜0；当a＜0时，sinθ＝－∈，cosθ＝∈，\n则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．11．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tansincos的符号．[解] (1)因为sinα＜0且tanα＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，综上，的终边在第二或第四象限．(3)当是第二象限角时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，故tansincos＞0，当是第四象限角时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，故tansincos＞0，综上，tansincos取正号．1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q\n的坐标为( )A．(－，)B．(－，1)C．(－1，)D．(1，－)B [由题意可知Q(2cos(－2010°)，2sin(－2010°))，因为－2010°＝－360°×6＋150°，所以cos(－2010°)＝cos150°＝－，sin(－2010°)＝sin150°＝.所以Q(－，1)，故选B．]2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )A．B．C．D．B [∵sin＝sin＝，cos＝－cos＝－.∴tanα＝＝－，且α是第四象限角，∴α＝2kπ－，k∈Z，角α的最小正值为，故选B．]3.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．[解] (1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tanα＝＝－.(2)若△AOB为等边三角形，\n则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈.
