同角三角函数的基本关系与诱导公式[考试要求] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．(2)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(3)sinα＝tanαcosα.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)\n(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( )(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1．化简sin690°的值是( )A． B．－ C． D．－B [sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin30°＝－.选B．]2．若sinα＝，＜α＜π，则tanα＝.－ [∵＜α＜π，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.]3．已知tanα＝2，则的值为．3 [原式＝＝＝3.]4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．－sin2α [原式＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.]考点一 同角三角函数基本关系式的应用 “知一求二”问题 对sinα，cosα，tanα的知一求二问题(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α\n的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．1．若α∈，sin(π－α)＝，则tanα＝( )A．－B．C．－D．C [因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－，故选C．]2．已知tanα＝2，π＜α＜，则sinα＋cosα＝( )A．－B．－C．－D．A [由tanα＝＝2，得sinα＝2cosα.代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝.又π＜α＜，∴cosα＝－，sinα＝tanαcosα＝－，∴sinα＋cosα＝－，故选A．]3．已知α∈，tanα＝cosα，则sinα＝( )A．B．C．D．C [由tanα＝＝cosα，得cos2α＝，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋＝1，即sin2α＋sinα－＝0.解得sinα＝，故选C．] 已知tanα求sinα，cosα齐次式的值 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．\n[典例1－1] (1)已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是( )A．B．－C．－3D．3(2)已知α∈，sinα＋cosα＝，则tanα＝( )A．－B．－或－C．D．或－(1)A (2)A [(1)由＝5得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.故选A．(2)由sinα＋cosα＝，得1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－.又2sinαcosα＝＝＝－，∴12tan2α＋25tanα＋12＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.又∵α∈，∴tanα∈(－1,1)，∴tanα＝－，故选A．]点评：解题中要注意sin2α＋cos2α＝1的应用． sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－，])，则sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．[典例1－2] 已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．\n[解] (1)由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－.∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.由x∈(－π，0)，知sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，则sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－.(2)＝＝＝＝－.点评：利用sinαcosα＞0(sinαcosα＜0)可知sinα，cosα同号还是异号，再结合角α的范围或sinα±cosα的正负，可进一步确定sinα，cosα的正负．1．若|sinθ|＋|cosθ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝( )A．B．C．D．B [因为|sinθ|＋|cosθ|＝，两边平方，得1＋|sin2θ|＝，所以|sin2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故选B．]2．已知＝－1，则(1)＝；(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝.\n(1)－ (2) [由＝－1得tanα＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＝＝＝.]3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则m＝，sinθ－cosθ＝.－ [因为sinθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cosθ＞0，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，所以sinθ－cosθ＝＝.]考点二 诱导公式的应用 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．\n[典例2] (1)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝.(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是．(1) (2)0 [(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.]点评：在使用诱导公式时，若不是诱导公式的标准形式，如：sin，cos(－π－α)等，先化为标准形式，再用诱导公式化简．1．若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝( )A．B．C．D．B [∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sinα＝－.则＝＝＝－＝，故选B．]2．计算：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝.2 [原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＋tan225°＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝＋＋1＝2.]\n3．已知sin＝，则cos＝.－ [由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.]考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值[典例3] 已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．[解] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2\n＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是( )A．B．C．D．C [由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0.tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.]2．已知sinα＋cosα＝－，且＜α＜π，则＋的值为． [由sinα＋cosα＝－，两边平方得sinαcosα＝－，∵＜α＜π，∴sinα－cosα＝＝，∴＋＝－＝＝＝.]
