课时规范练37 空间几何体的表面积与体积基础巩固组1.(2020湖北武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥A-BC1M的体积为( ) A.12B.14C.16D.1122.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( )A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π3.某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是( )A.23π+6B.116πC.113πD.23+6π4.(2020山东潍坊二模,7)在四面体ABCD中,△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上,且AD是该球的直径,则四面体ABCD的体积为( )A.224B.212C.26D.245.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球半径为( )\nA.2B.3C.5D.226.(2020广东高三一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,若P,Q分别在AA1,CC1上,且AP=13AA1,CQ=13CC1,则四棱锥B-APQC的体积是( )A.16VB.29VC.13VD.79V7.如图是某几何体的三视图,其中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为( )A.12B.15C.403D.5038.(2020江苏,9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3. 9.(2020河北张家口期末)四面体ABCD中,BC=CD=BD=22,AB=AD=2,AC=23,则四面体ABCD外接球的表面积为 . 综合提升组10.(2020河北唐山一模,文11)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,PA⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=2,若球O的表面积为36π,则PA=( )A.2B.6C.31D.33\n11.如图,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,则四面体P-AEF的高为( )A.13B.23C.34D.112.(2020全国3,文16)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 创新应用组13.(2020宁夏六盘山高级中学模拟)已知点M,N,P,Q在同一个球面上,MN=3,NP=4,MP=5,若四面体MNPQ体积的最大值为10,则这个球的表面积是( )A.25π4B.625π16C.225π16D.125π4参考答案课时规范练37 空间几何体的表面积与体积1.C 由题得,VA-BC1M=VC1-ABM=13S△ABM·C1C=13×12AB×AD×C1C=16,故选C.2.C 设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知OA=OB=OC=OD.∴点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相等,即点O为四面体的外接球的球心.∴外接球的半径R=OA=52.故V球=43πR3=1256π.故选C.3.B 由三视图知几何体是左边为一半圆锥,右边为半圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底面圆直径为2,圆柱的高为3,圆锥的高为2,∴几何体的体积V=V半圆柱+V半圆锥=12π×12×3+12×13π×12×2=116π.4.B 设球心为O,则O为AD的中点,由题意AB=AC=BC=BD=CD=1,∠ABD=∠ACD=90°,\nOB=OC=OD=22,BO⊥AD,BO⊥OC,∴BO⊥平面ACD,∴四面体ABCD的体积为VB-ACD=13×S△ACD×BO=13×12×2×22×22=212.故选B.5.C 由三视图可知三棱锥的直观图如图:由三视图可知底面三角形是边长为2,顶角120°的三角形,所以外接圆半径可由正弦定理得2r=2sin30°=4,由侧面为两等腰直角三角形,可确定出外接圆圆心,利用球的几何性质可确定出球心,且球心到底面的距离d=1,所以球半径R=d2+r2=5,故选C.6.B 在棱BB1上取一点H,使BH=13BB1,连接PH,QH,由题意S△PHQ=S△ABC,BH⊥平面PHQ,所以VB-PHQ=13S△PHQ·BH=13S△ABC·13BB1=19V,VABC-PHQ=S△ABC·BH=S△ABC·13BB1=13V,所以VB-APQC=VABC-PHQ-VB-PHQ=13V-19V=29V.故选B.7.D 由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥,其高h为5,底面四边形为正方形去掉两个直角三角形,面积S=16-12×4×2-12×2×2=10.体积V=13Sh=503.故选D.8.123-π2 本题考查棱柱和圆柱的体积.∵底面正六边形的面积S正六边形=6×12×2×2×sin60°=63,圆柱底面圆的面积S圆=π·122=π4,\n∴六角螺帽毛坯的体积V=63-π4×2=123-π2.9.12π 取AC的中点为E,在△ABC中,BC=22,AB=2,AC=23,故BC2+AB2=AC2,所以△ABC为直角三角形,同理可得△ADC为直角三角形,则能得到BE=DE=3,同时AC=23,E为中点,所以AE=CE=3,所以E为外接球的球心,且半径为3,所以四面体ABCD外接球的表面积为4π(3)2=12π.10.C 设球O的半径为R,则4πR2=36π,解得R=3.设底面ABCD外接圆的半径为r,则由圆的内接四边形的性质可知∠B+∠D=180°.又AB=AD=1,BC=DC=2,AC=AC.故△ABC≌△ADC.故∠B=∠D=90°.故AC=12+22=5=2r.故PA=(2R)2-(2r)2=36-5=31.故选C.11.B 如图,由题意可知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,∴VA-PEF=13S△PEF·PA=13×12×1×1×2=13,设P到平面AEF的距离为h,又S△AEF=22-12×1×2-12×1×2-12×1×1=32,∴VP-AEF=13×32×h=h2,∴h2=13,故h=23,故选B.12.2π3 (方法一)由题意可知圆锥轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.如图,SB=3,BC=1,SC=SB2-BC2=22.设该球内切于母线SB,切点为点D.令OC=OD=R,由△SOD∽△SBC得ODBC=SOSB,即R1=22-R3,解得R=22.因此V球=43πR3=43π·223=2π3.(方法二)由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.\n该三角形的周长为8,面积为22,由于三角形面积S,周长C和内切圆半径R的关系为S=CR2,即R=2SC=22,故该球的体积为V球=43πR3=43π·223=2π3.13.B 由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×2582=625π16,故选B.
