第八章 立体几何第五节 直线与平面垂直的判定及其性质A级·基础过关|固根基|1.(2019届成都市二诊)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是( )A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：选C 对于A，直线a可以在平面α内，也可以与平面α相交；对于B，直线a可以在平面α内，或者b在平面α内；对于D，如果a⊥α，b⊥α，则有a∥b，与条件中两直线异面矛盾．2．(2019届武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选C 构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故①错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，设l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C．3．(2019届合肥市一检)平面α外有两条直线a，b，它们在平面α内的投影分别是直线\nm，n，则下列命题正确的是( )A．若a⊥b，则m⊥nB．若m⊥n，则a⊥bC．若m∥n，则a∥bD．若m与n相交，则a与b相交或异面解析：选D 对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，AD，记为m，n，此时m⊥n，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCD－A1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的投影分别为AB，CD，记为m，n，此时m∥n，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确．4．(2019届合肥市二检)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S－ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD．又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD．综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C．5．(2019届湖北七市高三联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：选B 在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；只要m⊄α，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；类似于A\n，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．6．(2019届贵阳监测)如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选B 因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A、D正确；因为平面BPC⊥平面APC且平面BPC∩平面ACP＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC．又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；选项B中的条件不能判断出AP⊥BC，故选B．7．(2019届南昌市一模)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求三棱锥B1－A1C1E的体积．解：(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．如图，连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．由四棱台ABCD－A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.所以BD⊥AA1.(2)连接BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得V三棱锥B1－A1C1E＝V三棱锥E－A1B1C1＝V三棱锥B－A1B1C1＝V三棱锥C－A1B1C1，又V三棱锥C－A1B1C1＝S△A1B1C1·CC1＝××22×sin120°×4＝，所以三棱锥B1－A1C1E的体积V三棱锥B1－A1C1E＝.\n8．(2019届广州市调研测试)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：BD⊥平面AED．证明：(1)如图，取BD的中点O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC且OG＝DC＝1.因为EF∥AB，AB∥DC，EF＝1，所以EF∥OG且EF＝OG，所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED．(2)在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝＝.因为BD2＋AD2＝3＋1＝4＝AB2，\n所以BD⊥AD．因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED．9．(2019届贵阳市高三第一次适应性考试)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；(2)求三棱锥P－QMB的体积．解：(1)证明：∵AD∥BC，Q为AD的中点，BC＝AD，∴BCQD，∴四边形BCDQ为平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC．又PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PQB．∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB．(2)解法一：∵在Rt△PQB中，PQ＝＝，BQ＝CD＝，∴S△PQB＝PQ·QB＝.由(1)知BC⊥平面PQB，连接QC，∴V三棱锥C－PQB＝S△PQB×BC＝××1＝.又M是线段PC的中点，∴V三棱锥P－QMB＝V三棱锥M－PQB＝V三棱锥C－PQB＝×＝，故三棱锥P－QMB的体积为.解法二：如图，连接QC，记QC的中点为E，连接ME.在△PQC中，∵M为PC的中点，E为QC的中点，∴ME为△PQC的中位线，则ME＝PQ且PQ∥ME.由(1)可知PQ⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD．\n在△PAD中，∵PA＝PD＝AD＝2，Q为AD的中点，∴PQ＝.∵BC＝AD＝1，AD∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形BCDQ为长方形．又CD＝，∴QB＝，∴S△BQC＝BC·QB＝.∴V三棱锥P－QMB＝V三棱锥P－BQC－V三棱锥M－BQC＝(PQ－ME)×S△BQC＝×PQ×S△BQC＝××＝，故三棱锥P－QMB的体积为.B级·素养提升|练能力|10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A．B．1C．D．2解析：选A 设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝＝.在Rt△DB1F中，由面积相等得×＝x，解得x＝，即线段B1F的长为.11．(2019届武汉调研)在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于E，连接CE，则⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①不正确；\n②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确；③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.答案：②12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)(答案不唯一)13．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC上(端点除外)一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K作KM⊥AF于点M，连接DM，易得DM⊥AF，与折前的图形对比，可知折前的图形中D，M，K三点共线且DK⊥AF(如图②所示)，于是△DAK∽△FDA，所以＝，即＝，所以t＝.又DF∈(1，2)，故t∈.答案：14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．\n解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD．(2)证明：如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB．因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB．(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明：如图，取PC的中点F，连接DE，EF，DF.在△PBC中，FE∥PB，又FE⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB∥平面DEF.在菱形ABCD中，GB∥DE，又DE⊂平面DEF，GB⊄平面DEF，所以GB∥平面DEF.又PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB．因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD．又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．
