第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第八节 函数与方程及函数模型的应用A级·基础过关|固根基|1.(2019届甘肃省平凉市模拟)函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间为( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B 由题意知，函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数，因为f(1)<0，f(2)＝ln2－＝ln2－ln>0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)，故选B．2．(2019届福建省龙岩市期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：选C 令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2，故选C．3．(2019届河北九校第二次联考)若函数f(x)＝kx－|x－e－x|有两个正实数零点，则k的取值范围是( )A．(0，＋∞)B．C．(0，1)D．(0，e)解析：选C 令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，当x>0时，k＝＝，令g(x)＝1－，x>0，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g＝1－<0，g(1)＝1－>0，所以在上存在一个a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的图象如图所示．由题意知，要使直线y＝k与y＝|g(x)|的图象有两个交点，则0<k<1，故选C．4．(2019届洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于\n根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )A．y＝(x－50)2＋500B．y＝10＋500C．y＝(x－50)3＋625D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求，故选C．5．(2019届长春市第一次质量监测)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]上所有的零点的和为( )A．4B．8C．12D．16解析：选D 令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋与g(x)＝1－sinπx的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知，f(x)与g(x)的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，由对称性可得，所有零点之和为4×2×2＝16，故选D．6．(2019届武汉市武昌区高三调考)已知函数f(x)＝x3＋a，则f(x)的零点可能有( )\nA．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．2个或3个解析：选A 因为x2＋x＋2＝(x＋1)2＋>0，所以令f(x)＝0，则a＝，f(x)的零点可以转化为直线y＝a与函数g(x)＝的图象的交点的横坐标．因为g′(x)＝＝，令g′(x)＝0，即－x4－x3－2x2＝0，整理得，－x2·(x2＋4x＋12)＝0，由于x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8>0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直线y＝a与函数g(x)的图象可能有1个交点．所以f(x)的零点可能有1个，故选A．7．(2019届邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A．30.5万元B．31.5万元C．32.5万元D．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为×150%＋×50%，故年销售收入为z＝·y＝45y＋6＋x，∴年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)．∴当广告费为1万元，即x＝1时，该企业甲产品的年利润为17＋－＝31.5(万元)，故选B．8．若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为( )A．1B．2\nC．3D．4解析：选B 方程lnx＋x－4＝0的根为函数f(x)＝lnx＋x－4的零点．f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)在定义域上单调递增．因为f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在区间(2，3)上有一个零点，则方程lnx＋x－4＝0在区间(2，3)上有一根，所以a＝2，b＝3，故选B．9．(2020届合肥调研)若函数f(x)＝2|x－2a|－4|x＋a|在区间(－2，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝2|x－2a|－4|x＋a|＝0，即方程2|x－2a|＝22|x＋a|，即方程|x－2a|＝2|x＋a|，即方程(x－2a)2＝4(x＋a)2，即方程x(x＋4a)＝0在区间(－2，＋∞)上有且仅有一个实根，当a＝0时，方程有唯一实数根x＝0，满足条件；当a≠0时，必有－4a≤－2，解得a≥.综上，实数a的取值范围是.答案：10．(2019届唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：411．某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为\n1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件；当m>30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.B级·素养提升|练能力|12.设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0，3]，当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为( )A．2B．3C．1D．0解析：选A 因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0，3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有2个零点，故选A．13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为( )A．2a－1B．2－a－1C．1－2－aD．1－2a解析：选D 因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝\n画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝a(0<a<1)，如图所示．由图可知，函数y＝f(x)与直线y＝a(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a，即log2(1－x3)＝a，可得x3＝1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D．14．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝2x－x＋a，则函数f(x)有________个零点．解析：由题意知，f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.当x<0时，令f(x)＝2x－x－1＝0，解得x＝－1.又函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)有3个零点．答案：315．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则(x3＋x4)的取值范围为________．解析：方程f(x)＝m有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4可转化为函数f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，作出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象得0<m<1，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)．由f(x1)＝f(x2)可得，|log2(x1－1)|＝|log2(x2－1)|，又1<x1<2<x2，所以log2(x1－1)＋log2(x2－1)＝0，得(x1－1)(x2－1)＝1，整理得x1x2＝x1＋\nx2，所以＋＝1.由f(x3)＝f(x4)及二次函数图象的对称性，得x3＋x4＝9，所以(x3＋x4)＝m(x3＋x4)＝9m∈(0，9)．答案：(0，9)
