单元质检卷七 不等式、推理与证明(时间:45分钟 满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020上海市西中学月考)f(n)=1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n(n∈N+),那么f(k+1)-f(k)的项数为( )A.2k-1B.2kC.2k+1D.以上都不对2.(2020浙江,3)若实数x,y满足约束条件x-3y+1≤0,x+y-3≥0,则z=x+2y的取值范围是( )A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(-∞,+∞)3.下面四个推理中,不属于合情推理的是( )A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2020宁夏六盘山高级中学期末)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是( )A.6+23B.7+23C.6+43D.7+435.(2020山西晋城一模,理4)设x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,则z=x-3y的最小值为( )A.0B.-4C.-8D.-66.(2020辽宁实验中学月考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.乙一定去过哪个城市?( )A.A市城和B城市B.A城市C.B城市D.C城市7.观察下列不等式:3+1<22,2+2<23,5+3<4,6+2<25,据此你可以归纳猜想出的一般结论为( )A.n+3+n+1<2n(n∈N)B.n+1+n-1<2n(n∈N)C.n+3+n+1<2n(n≥2,且n∈N+)D.n+1+n-1<2n(n≥2,且n∈N+)8.(2020河北石家庄二模,文6)已知实数x,y满足不等式x-y+2≥0,2x+y-5≤0,y≥1,则z=yx+3的最大值为( )\nA.35B.45C.34D.329.设正实数x,y满足x>23,y>2,不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立,则m的最大值为( )A.22B.42C.8D.1610.(2020北京房山二模,10)某人自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天,3天,5天,6天去配送一次.已知5月1日此人分别去了这四家超市配送,那么整个5月他不用去配送的天数是( )A.12B.13C.14D.1511.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象、迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形.则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.109312.(2020云南曲靖二模)已知实数x,y满足x-2≥0,y-2≥0,x+y-8≤0,z=ax+by(a>b>0)的最大值为2,则直线ax+by-1=0过定点( )A.(3,1)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-3,1)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020天津河西二模)已知x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,则x+y的最小值为 . 14.(2020江苏常熟三模)已知正实数a,b满足a+1b=1,且1a+b≥2t2-7t恒成立,则实数t的取值范围为 . 15.(2020湖南长郡中学四模,理14)设p:x2+y2≤r2(x,y∈R,r>0);q:x≥1,x+y-4≤0,x-y≤0(x,y∈R),若p是q的必要不充分条件,则r的取值范围为 . 16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,\n……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= . 参考答案单元质检卷七 不等式、推理与证明1.B f(k+1)-f(k)=12k+1+12k+2+…+12k+1=12k+1+12k+2+…+12k+2k,共有2k项.故选B.2.B 首先作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分).令z=0,画出初始目标函数表示的直线y=-12x,由图像可知,不等式组表示的平面区域是两条直线相交形成的开放区域,当平移直线y=-12x过点A时,z取得最小值,无最大值.联立x-3y+1=0,x+y-3=0,解得x=2,y=1,即A(2,1).zmin=2+2×1=4.所以z=2x+y的取值范围是[4,+∞).故选B.3.D 选项A,B都是归纳推理,选项C为类比推理,选项D既不是归纳推理也不是类比推理.故选D.4.D 由题知,log4(3a+4b)=log23a+4b,所以3a+4b=ab,即3a+4b=ab,所以3b+4a=1.因为3a+4b>0,ab>0,所以a>0,b>0,所以(a+b)3b+4a=3ab+4+3+4ba≥7+212=7+43,当且仅当3ab=4ba时等号成立,所以a+b的最小值为7+43.故选D.5.D 作出可行域,如图所示,当目标函数z=x-3y经过A(0,2)时,z取得最小值-6.故选D.\n6.B 由乙说的可知,乙可能去过A城市或B城市,再由甲说的,可以推出甲去过两个城市A,C,故乙只能去过A和B城市中的一个,又丙说,三个人去过同一个城市,即可判断出乙一定去过A城市.故选B.7.D 把题设中的不等式改写为3+1<22,4+2<23,5+3<24,6+4<25.即可得一般结论n+1+n-1<2n.从而排除A,C选项.当n=0时,结论不成立.故选D.8.C 根据约束条件x-y+2≥0,2x+y-5≤0,y≥1画出可行域,图中阴影部分为可行域,目标函数z=yx+3,表示可行域中点(x,y)与(-3,0)连线的斜率,由图可知点P(1,3)与(-3,0)连线的斜率最大,故z的最大值为34,故选C.9.D 设y-2=a,3x-2=b(a>0,b>0),9x2y-2+y23x-2=(b+2)2a+(a+2)2b≥8ba+8ab=8ba+ab≥16,当且仅当a=b=2,即x=43,y=4时取等号.所以m的最大值为16.故选D.10.B 将5月剩余的30天依次编号为1,2,3,…,30,因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天,3天,5天,6天去配送一次,且5月1日此人分别去了这四家超市配送,所以此人每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送,每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送,每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送,每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送,则此人去甲超市配送的天数编号为3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,共10天;此人去乙超市配送但不去甲超市配送的天数编号为4,8,16,20,28,共5天;此人去丙超市配送但不去甲、乙超市配送的天数编号不存在,共0天;此人去丁超市配送但不去甲、乙、丙超市配送的天数编号为7,14,共2天;所以此人需要配送的天数为10+5+0+2=17,所以整个5月此人不用去配送的天数是30-17=13.故选B.11.C 由题图可知,每一个图形中被去掉小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1,所以,n=1时,a1=1;n=2时,a2=3+1=4;n=3时,a3=3×4+1=13;n=4时,a4=3×13+1=40;\nn=5时,a5=3×40+1=121;n=6时,a6=3×121+1=364,故选C.12.A 画出不等式组x-2≥0,y-2≥0,x+y-8≤0,表示的平面区域,如图阴影部分所示;由图可知,点C为目标函数取得最大值的最优解,联立y-2=0,x+y-8=0,解得C(6,2),所以6a+2b=2,即3a+b=1;所以b=1-3a,代入ax+by-1=0,得ax+y-3ay-1=0,即a(x-3y)+y-1=0,由x-3y=0,y-1=0解得x=3,y=1.所以直线ax+by-1=0过定点(3,1),故选A.13.8 ∵x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,∴y=-2x+41x+4,∴x+y=x+-2x+41x+4=(x+4)+49x+4-6≥2(x+4)·49x+4-6=8.当且仅当x=3时取等号.∴x+y的最小值为8.14.-12,4 因为1a+b≥2t2-7t恒成立,所以2t2-7t≤(1a+b)min,而正实数a,b满足a+1b=1,所以1a+ba+1b=2+ab+1ab≥4,当且仅当ab=1时,等号成立,所以2t2-7t≤4,解得-12≤t≤4.15.[10,+∞) 设p表示的是集合A,q表示的是集合B,若p是q的必要不充分条件,则B⊆A,在坐标轴中作出满足q的可行域,如图阴影部分所示,由x=1,x+y-4=0,可得A(1,3),则结合上图可知,点A应在圆x2+y2=r2(r>0)内部或者圆上,\n即r2≥10,解得r≥10.16.1000 由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)·-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1000.
