第十章圆锥曲线第63课椭圆及其标准方程1．（2022哈尔滨质检）设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的横坐标为（）A．1B．C．D.【答案】D【解析】∵，∴，，设，∵，∴，即，∴．又∵，∴，解得，∵，∴．∵，∴．2．（2022莱芜质检）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，设，则，∵，∴时，取得最小值．3．（2022上海闸北质检）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．（1）求证：；（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．【解析】（1）由题设，得，由椭圆定义，∴．（2）由点在椭圆上，5\n可设椭圆的方程为，设，，，：，由，得，（*）则，∴，解得，∴椭圆的方程为．4．已知、分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值．【解析】（1）∵点为线段的中点，∴是的中位线，又，∴，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）∵点在椭圆上，、是椭圆的两个焦点，∴，，在，由正弦定理，，∴．5\n5．（2022北京石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．【解析】（1）由题意得，解得．∴椭圆方程为．（2）当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，得．设，则，∴，由，∴直线，或．5\n6．(2022揭阳联考)如图，在中，，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，又，∴，∴椭圆的标准方程为（2）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，圆心到直线的距离.当直线斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离（符合），当直线斜率存在时，设的方程为，即，∴圆心到直线的距离5\n，无解.综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为.5
