三次曲线的切线条数一、问题的提出引例：（2022·北京文·20）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？(只需写出结论)本题第（2）（3）问都是“过一点作三次函数图象切线的条数”的问题，特别是第（3）问只需写出结论，如何才能迅速地进行判断呢？有没有规律性的结论呢？二、直线与曲线相切的概念如图1，设曲线是函数的图象，在曲线上取一点及邻近的一点，过两点作割线，并分别过两点作轴与轴的平行线又设割线的倾斜角为，那么这就是说，就是割线的斜率.如图2，当点沿着曲线逐渐向点接近时，割线将绕着点逐渐转动.当点沿着曲线无限接近点即时，如果割线有一个极限位置，那么，直线叫做曲线在点处的切线.4\n由直线与曲线相切的概念可知，切线是割线的极限位置，直线与曲线相切是一个局部的概念，因而直线与曲线可以同时相切于点和相交于点，比如曲线与直线在点处相切，在点处相交.三、探究函数，过定点的直线与函数的图象相切，这样的直线有几条？设直线与曲线相切于，则切线方程为：，因为切线必过，则，所以整理可得：①显然，关于的方程①有多少个不同的解，就有多少条不同的切线.下面，解决关于的方程①的解的个数问题.设则由，得：，（1）当时，，单调递增，关于的方程①有一个解；（2）当时，的示意图：两个极值分别为，，（ⅰ）当即时，两个极值同号，定点在不等式所表示的平面区域内，此时，函数只有一个零点，关于的方程①有一个解；注意到函数是奇函数，坐标原点是对称中心，等式所表示的直线恰是曲线在原点处的切线.4\n（ⅱ）当即时，定点在等式所表示的曲线上，此时，函数有两个零点，关于的方程①有两个解；（ⅲ）当即时，定点在不等式所表示的平面区域内，此时，函数有三个零点，关于的方程①有三个解；综上所述，很容易给出结论.四、结论一般的，已知定点，三次函数对称中心处的切线与曲线将平面分成四个平面区域（如图所示）：（1）若点在图象对称中心处或在Ⅰ、Ⅱ区域内（不含边界），则过定点作三次函数图象切线只能作一条；（2）若点在图象对称中心处的切线上（对称中心除外）或在函数图象上（对称中心除外），则过定点作三次函数图象的切线有两条；（3）若点在Ⅲ、Ⅳ区域内（不含边界），则过定点作三次函数图象的切线有三条.五、应用例：（2022·北京文·20）已知函数.（1）（略）（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？(只需写出结论)解析：（2）易知又函数在对称中心处的切线为，直线与曲线交于，与切线交于，因为过存在3条直线与曲线相切，所以必在区域Ⅳ内，故4\n（3）易知在区域Ⅲ，所以过点存在三条直线与曲线相切；易知在曲线上，且不是对称中心，所以过点存在二条直线与曲线相切；易知在区域Ⅰ，所以过点存在一条直线与曲线相切.4
