典型例题一例1在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类．个位是9，那么十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；个位是8，那么十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；与上同样：个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个．由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个）．说明：此题是用分类计数原理解答的，结合此题可加深对“做一件事，完成之可以有n类方法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类方法”，这里是指对完成这件事情的所有方法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进展分类；其次分类时要注意满足一个根本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理．典型例题七例7(1)假设、是正整数且，那么以为坐标的点共有多少个？(2)假设、是整数，且，，那么以为坐标的不同的点共有多少个？分析：两小题所处理的具体事情都可视为找满足条件的点的坐标，问题是点的坐标有多少个．11/11\n(1)因为、互相制约，可以把点的坐标按的取值进展分类，比方，可以取共五个值，，可以取共四个值，以此类推，然后再用分类计数原理解题．(2)因为、的取值相互独立，可以把找点的坐标的过程分成找横坐标和纵坐标分别进展，然后用分步计数原理解题．解：(1)按的取值分类：时，有个值，时，有个值，时，有个值，时，有个值，时，有个值．用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：(个)．(2)先确定的取值，共有个值，再确定的取值，共有个值，用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：(个)．说明：本例中找点的坐标，也可换成确定一个两位数，如：个位、十位数字之和小于的二位数是多少个？按个位的取值进展分类：个位取，十位可取个数，个位取，十位可取个数，以此类推，所有满足条件的两位数共有：(个)．典型例题三例3二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．分析与解：男生38人，女生18人，由分步计数原理共有（种）答：选取代表的方法有684种．说明：此题是用分步计数原理解答的，结合此题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n个步骤”11/11\n，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．典型例题九例9 某电脑用户方案用不超过500元的资金购置单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件和磁盘至少各买2件，那么不同的选购方法种数有多少种？分析：由于该电脑用户买两种材料所用总钱数不超过500元，所以购置软件和磁盘的数量互相制约，我们可以按购置软件的个数进展分类，用分类计数原理解题．解：购置单片软件、盒装磁盘各2件，需260元，用钱总数不超过500元，所以最多还可使用240元，按额外购置的单片软件的数目分类：购置4件，磁盘不再购置；购置3件，磁盘不再购置；购置2件，磁盘不再购置或买1件；购置1件，磁盘不再购置或买1件，或买2件；不购置，磁盘不再购置或买1件、2件、3件；使用分类计数原理，不同的购置结果共有（种）．典型例题二例2在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？11/11\n解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。典型例题五例5在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使灯发光的方法有几种？解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：2×3=6中不同的方法接通电源，使电灯发光。典型例题八例8(1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？(2)六名同学参加三项比赛，三个工程比赛冠军的不同结果有多少种？分析：(1)可以把报名过程分成六步，你可以充当一个体育班委的角色，先让第一个人报名，有3种不同方法，再让第二个人报名，仍然有3种不同的方法，以此类推，用分步计数原理解题．(2)此题可视为通过比赛找出三个工程的冠军，仍然可以分为三步，第一步进展第一个工程的比赛，第二步进展第二个工程的比赛……用分步计数原理解题．11/11\n解：(1)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，以此类推，不同的报名结果共有：种．(2)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一工程的冠军，有6种结果，再决出第二工程冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：种．说明：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？我们把三个工程记为、、，这样每个人就有八种不同选择，分别为选、选、选、选、选、选、选以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有种不同的投报结果．典型例题六例6 同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，那么4张贺年卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种分析：此题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为、、、，他们的卡片依次记为、、、，如果第一步抽取，接着可抽、、，有三种方法，而抽或，仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就抽的结果进展分类．解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，那么B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a11/11\n，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有种．∴应选B．说明：（1）此题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用分类计数原理解答的，解法2是用分步计数原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．（2）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论根底，也是求解排列、组合问题的根本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．（3）如果把四个人依次抽取的结果用一个图表表达出来，就显得更加清楚．11/11\n共有9种不同结果．这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．典型例题十一例11 (1)现有4封信需要寄出，邮局内共有三个邮箱，邮箱的功能相同．问共有多少种投信方法？(2)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队．不同报名方法的种数是还是？分析：这两个问题有一定代表性．以第(1)小题为例：需要完成的事件是把4封信都投出去，而不是把3个邮箱都投上信．事实上可以把4封信都投在一个邮箱里．要完成这件事，可以认为是分4步完成的：把第一封信投出去，把第二封信投出去，……，把第4封信投出去．应用分步计数原理即可得出答案．第(2)小题完全相同，需要完成的事件是4个同学都报上名．解：(1)完成这件事需分4步，即分4次投信：把第一封信投出去，有3种投法；把第二封信投出去，有3种投法；……．故共有种不同的投法．(2)共有种不同的报名方法．说明：此类问题还可举出很多，例如教材上的习题：3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同选法的总数是还是？解决问题的关键是牢牢抓住11/11\n“要完成的事情是什么”，此题要完成的事情是“3个班各选一个风景点”，故可认为分三步完成．答案应是．典型例题十二例12 已知集合，集合．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？分析：此题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选出的数作为纵坐标，因此选法可分两类：(1)从中选出一数作为横坐标，从中选出一数作为纵坐标；(2)从中选出一数作为横坐标，从中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成．解：选法分为两类：(1)先从中选出一个数作为横坐标，有3种选法，再从中选出一个数作为横坐标，有2种选法（因为纵坐标必须大于0），故共有种选法．(2)先从中选出一个数作为横坐标，有种选法，再从中选出一个数作为纵坐标，有2种选法，故共有种选法．根据分类计数原理，所有选法总数是种，也即位于第一、二象限内的点共有14个．说明：此类问题还可举出多例．如，用作分子，用11/11\n作分母可构造多少个不同的分数？但有一问题需要注意，即有的选法可能被重复计算了2次，这样在合计选法总数时就应该减去1，即被多计算的那种选法，如，从集合和中各取一个元素作为点的坐标，那么位于第一、二象限的点的个数是多少？如果按照例题的解法：点的个数应是，而实际上被计算了两次：，，，，，，，，．因此符合条件的点的个数应是8个．典型例题十四例14 用这个数字：(1)可以组成______________个数字不重复的三位数．(2)可以组成______________个数字允许重复的三位数．(3)可以组成______________个大于，小于的数字不重复的四位数．分析：第(1)和第(2)小题可以认为从上面个数中选出三个数去填三个空：，故应分三步完成．百位数不能填0，同时应注意数字可重复与不可重复的区别．第(3)小题应先分类再分步．解：(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；再选十位数字，由于数字不允许重复，因此只能从剩下的5个数字中选一个，有5种选法；最后选个位数字，由于百位数、十位数已经选去了2个数字，故只能从剩下的4个数字中选一个，因此有4种选法．由分步计数原理得，所求三位数共有个．(2)分三步：百位数字有5种选法；由于数字允许重复，故十位数字有6种选法；个位数字也有6种选法．因此所求三位数共有个．(3)分四类：千位数字为之一时，有个；千位数字为，百位数字为之一时，共有个；千位数字是11/11\n百位数字是，十位数字是之一时共有个；最后还有也满足条件．所以所求四位数共有个．说明：(1)数字排列的问题，可以看成从所给定的数字中选出某些数来“填空”，这种方法在很多题目都会用到．例如后面“排列”中有一问题：从甲、乙、丙三名同学中选出2名同学参加某天的一项活动，其中名同学参加上午的活动，名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法：可以看成是从“甲、乙、丙”三个元素中选出个去填空：第一个空有种填法，第二个空有种填法（因为当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学就只能从余下的人中去选）．(2)在“选元素填空”时，一定要考虑到元素允许重复还是不允许重复．典型例题四例4有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？分析：任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类计数原理即可得解．解：取出两本书中，一本数学一本语文有种不同取法，一本语文一本英语有种不同取法，一本数学，一本英语有种不同取法．由分类计数原理知：共有种不同取法．说明：本例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或分步计数原理．11/11\n典型例题十三例15 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）．A．12对 B．24对 C．36对 D．48解：把六棱锥所有棱分成3类：①底面上的六条棱所在的直线共面，那么每两条之间不能构成异面直线．②六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．③结合图形可知，有(对)．的四条侧棱所在的四条直线中一条才能构成异面直线．由分步计数原理，构成异面直线有(对)∴应选B．说明：此题是用分步计数原理来解的．结合这几例题，可以加深对“完成一件事，需要分成个步骤，分析时，需要分成个步骤”的理解，所谓“完成一件事情，需要分成个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须并且只需连续完成这个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用分步计数原理．11/11
