第4讲函数的奇偶性及周期性1．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，所以h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，所以h(x)是偶函数，D错．2．(2022·山西省第三次四校联考)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝( )A．－＋2 B．1C．3D.＋2解析：选D.因为f＝f＝2sin＝，f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2，故选D.3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f(2016)＋f(2017)＝( )A．3B．2C．1D．0解析：选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2016)＋f(2017)＝f(672×3＋0)＋f(672×3＋1)＝f(0)＋f(1)，而由图像可知f(1)＝1，f(0)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＝0＋1＝1.4．(2022·江西省高考适应性测试)已知函数f(x)＝x－2，g(x)＝x3＋tanx，那么( )A．f(x)·g(x)是奇函数B．f(x)·g(x)是偶函数C．f(x)＋g(x)是奇函数D．f(x)＋g(x)是偶函数解析：选A.由已知易得f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，故f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数，A正确，B错误；f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．(2022·郑州调研)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则( )A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(－1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)解析：选A.函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，5]上是减函数．5\n选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)．选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)．同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)．6．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为( )A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f(x)的图像如图．当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．解析：因为f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，所以当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－18．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________．解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)．答案：1 －19．若偶函数y＝f(x)为R上周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：因为y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，所以f(x)＝x2＋(1－a)x－a，1－a＝0.所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－110．(2022·河北省衡水中学一调考试)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．解析：f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)是R上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W，最小值是1－W，即M＝1＋W，m＝1－W，所以M＋m＝2.答案：211．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.5\n(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.12．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上递增．结合f(x)的图像知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．1．(2022·河南省适应性模拟练习)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝( )A．1B．－1C.D．－解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)的周期为4，由4<log220<5得f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f＝－＝－＝－1，故选B.5\n2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)． 所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图像关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．因为f(x)在[0，2]上是增函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图像．其图像也关于x＝－6对称，所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－83．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值．(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．4．(2022·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．5\n综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0，1)．5
