课时提升练(三十五) 空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球 B．三棱锥C．正方体D．圆柱【解析】 圆柱的三视图不同，故选D.【答案】 D2．给出下列三个命题：①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解析】 ①是假命题，相邻侧面互相垂直不能保证侧棱垂直于底面；②是假命题，各侧面都是正方形，不能保证底面都是正方形，当底面为不是正方形的菱形时就不是正方体；③是假命题，如图所示，AB＝AC＝BC＝PB＝PC≠PA，侧面都是等腰三角形，但不是正棱锥．综上所述，故选D.【答案】 D3．(2022·贵州模拟)如图7112是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是( )图7112【解析】 侧视图即光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，故选A.【答案】 A4．如图7113，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是( )7\n图7113A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】 在Rt△O′C′D′中，O′D′＝O′C′＝2.故在平面图形中OD＝2×2＝4.在Rt△ODC中，OC＝＝＝6.所以OC＝OA，所以原图形OABC是菱形．【答案】 C5．(2022·延边模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图7114所示，则相应的侧视图可以为( )图7114【解析】 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥组成的组合体，故其侧视图应为D选项．【答案】 D6．(2022·济南模拟)如图7115是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的个数是( )7\n图7115A．3B．2C．1D．0【解析】 ①②③的正视图和俯视图都与题图相同，故选A.【答案】 A7．(2022·北京高考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1【解析】如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1＝×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S2＝×2×＝.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3＝×2×＝.所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.【答案】 D8．(2022·石家庄模拟)三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图7116所示，则棱SB的长为( )7\n图7116A．2B．4C.D．16【解析】 取AC的中点为D，连接SD，BD，在Rt△SDC中，SD2＝SC2＋CD2＝42＋22＝20，在Rt△BDC中，SB2＝BD2＋SD2＝(2)2＋20＝32，∴SB＝4，故选B.【答案】 B9．(2022·贵州六校联考)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图7117所示，则其侧视图的面积为( )图7117A．1B.C.D.【解析】 由题知，该三棱锥为正三棱锥，则其侧视图为如图所示的三角形，其底面边长为，高为，则其面积为S＝××＝，选B.【答案】 B10．(2022·江门模拟)如图7118，E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中AD1、B1C上的动点(不含端点)，则四边形B1FDE的俯视图可能是( )图71187\n【解析】 由画几何体的三视图要求可知，点E在底面的正投影应落在线段A1D1上(不含端点)，点F在底面的正投影应落在线段B1C1上(不含端点)，而B1与D在底面的正投影分别为B1和D1，故四边形B1FDE在底面ABCD的正投影为四边形，结合选项知选B.【答案】 B11．(2022·东北三省联考)已知四棱锥PABCD的三视图如图7119所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )图7119A．3 B. C．3 D.【解析】 由题可知四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中底面ABCD为矩形，AB＝3，AD＝2，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝2，则四个侧面均为直角三角形，所以AP＝＝2，CP＝＝，所以S△PAD＝PD·AD＝2，S△PAB＝PA·AB＝3，S△PBC＝PC·BC＝，S△PDC＝PD·DC＝3，而3＞＞3＞2，故选C.【答案】 C12．(2022·安阳模拟)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( )A．2B．27\nC．4D．2【解析】 如图，设长方体的长、宽、高分别为m、n、k，由题意得＝，＝⇒n＝1；＝a,＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝6⇒a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选C.【答案】 C二、填空题13．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．【解析】 如图，∵OE＝＝1，∴O′E′＝，E′F＝，∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.【答案】 14．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【解析】 ①三棱锥的正视图是三角形．②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形．③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形，如图．④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形．⑥圆柱不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．【答案】 ①②③⑤7\n15．如图7120是水平放置的△ABC(AD为BC边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC中的四条线段AB，BC，AC，AD，其中最长的线段是________，最短的线段是________．图7120【解析】 依据规则可以判定，原△ABC为直角三角形，其中AC为斜边，故AC最长．由图可以看到A′B′＞B′D′，∴AB＞BC，∴最短的线段为BC.【答案】 AC BC16．已知一几何体的三视图如图7121所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)______．图7121①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】 由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．【答案】 ①③④⑤7
