课时提升练(三十一) 不等关系与不等式一、选择题1．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xzD．x|y|＞z|y|【解析】 由已知得x＞0，z＜0，又∵y＞z，∴xy＞xz.【答案】 C2．(2022·山东高考)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A．x3>y3B．sinx>sinyC．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)D.>【解析】 ∵0＜a＜1，ax＜ay，结合指数函数单调性知x＞y，结合幂函数的性质知x3＞y3.【答案】 A3．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A.＜B.＞0C.＜D.＜0【解析】 ∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴＜，＞0，＜0，但b2与a2的关系不确定，故＜不一定成立．【答案】 C4．在所给的四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0中，能推出＜成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】 ＜成立，即＜0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．5\n【答案】 C5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 ∵0＜ab＜1，∴a，b同号，且ab＜1.∴当a＞0，b＞0时，b＜；当a＜0，b＜0时，b＞.∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不充分条件．而取b＝－1，a＝1，显然有b＜，但不能推出0＜ab＜1，∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不必要条件．【答案】 D6．若角α，β满足－＜α＜β＜π，则α－β的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】 ∵－＜α＜β＜π，∴α－β＜0.又－＜α＜π，－π＜－β＜.故－＜α－β＜0.【答案】 B7．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是( )A．p≥qB．p＞qC．p＜qD．p≤q5\n【解析】 p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.【答案】 A8．设a>0，b>0，( )A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b【解析】 当0＜a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b＜3b，∴2a＋2a＜2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b.∴它的逆否命题“若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b”成立，因此A正确．【答案】 A9．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b【解析】 c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a，∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.【答案】 A10．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A．a＋＞b＋B.＞C．a－＞b－D.＞【解析】 取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a＞b＞0时，f(a)＞5\nf(b)必定成立．但g(a)＞g(b)未必成立，这样a－＞b－⇔a＋＞b＋.【答案】 A11．(2022·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是( )A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】 ∵a>b>1，∴<.又c<0，∴>，故①正确．当c＜0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴ac<bc，故②正确．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．【答案】 D12．(2022·大纲全国卷)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【解析】 由a＞b＋1＞b，得a＞b；而由a＞b，得不到a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题13．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．【解析】 ∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要条件．∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．已知12＜a＜60,15＜b＜36，则的取值范围是________．5\n【解析】 ∵15＜b＜36，∴＜＜，又∵12＜a＜60，∴＜＜，即＜＜4.【答案】 15．已知θ∈，且a＝cos2θ，b＝cosθ－sinθ，则a与b的大小关系为________．【解析】 ＝＝cosθ＋sinθ＝sin，∵θ∈，∴θ＋∈，∴sin∈(1，)，即＞1，∴a＞b.【答案】 a＞b16．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是________．【解析】 ∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，当a＞0时，b2＞1＞b，即∴b＜－1；当a＜0时，b2＜1＜b，即无解．综上可得b＜－1.【答案】 (－∞，－1)5
