课时提升练(二十七) 等差数列及其前n项和一、选择题1．(2022·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜0【解析】 设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn＞bn＋1，即2a1an＞2a1an＋1.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an＞a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)＞0，∴a1(an－an－d)＞0，即a1(－d)＞0，∴a1d＜0.【答案】 D2．(2022·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A．8B.10 C．12 D．14【解析】 由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.【答案】 C3．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为( )A．130B．260C．156D．168【解析】 由a5＋a9－a7＝10得，2a7－a7＝a7＝10，∴S13＝＝＝130.【答案】 A4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11－a8＝3，S11－S8＝3，则使an＞0的最小正整数n的值是( )A．8B．9C．10D．11【解析】 ∵a11－a8＝3d＝3，∴d＝1，∴S11－S8＝a11＋a10＋a9＝3a1＋27d＝3，∴a1＝－8，∴an＝－8＋(n－1)＞0，解得n＞9，因此使an＞0的最小正整数n的值是10.【答案】 C5．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－15\n＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝( )A．638B．639C．640D．641【解析】 由已知Sn－Sn－1＝2得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640.【答案】 C6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则，，…，中最大的项为( )A.B.C.D.【解析】 由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0.由S16＝＝＜0，得a9＋a8＜0，∴a9＜0，且d＜0.∴数列{an}为递减的数列．∴a1，…，a8为正，a9，…，an，…为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn，…为负，则＜0，＜0，…，＜0；＞0，＞0，…，＞0，又S8＞S7＞…＞S1，a1＞a2＞…＞a8，∴＞＞…＞＞0，∴最大的项为.【答案】 D二、填空题7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.【解析】 ∵am－1＋am＋1＝2am，∴2am－a＝0，则am＝2或am＝0(舍)，又S2m－1＝＝(2m－1)am＝2(2m－1)＝38.解之得m＝10.【答案】 108．(2022·江西高考)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．【解析】 当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明∴∴－1＜d＜－.5\n【答案】 9．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，那么从开始运动后________分钟甲、乙两物体第二次相遇．【解析】 设n分钟后第二次相遇，由题意，得2n＋＋5n＝3×70，∴n2＋13n－6×70＝0.解得n＝15或n＝－28(舍去)【答案】 15三、解答题10．(2022·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【解】 (1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．11．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项；(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)得，－＝3(n≥2)，5\n∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴an＝.(3)由λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，即＋3n＋1≥λ对n≥2(n∈N*)恒成立．整理得λ≤(n≥2，n∈N*)，令Cn＝，Cn＋1－Cn＝－＝因为n≥2，所以Cn＋1－Cn＞0，∴{Cn}为单调递增数列，C2最小，且C2＝，故λ的取值范围为.12．(2022·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d，易求a2＝－1，则a3＝a2＋d，a1＝a2－d，由题意得解之得或所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝5\n记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5.当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝5
