课时提升练(五十九) 直线与圆的位置关系一、选择题1．(2022·北京高考)如图40所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )图40A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2【解析】 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·DB.又CD是圆的切线，故CD2＝CE·CB.∴CE·CB＝AD·DB.【答案】 A2．如图41所示，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是( )图41A．1B.2 C．3 D．4【解析】 ①中仅当∠BAC为直角时才成立；在②中仅当BG⊥AE时才成立；由△AEB∽△ACD，故＝，即AE·AD＝AB·AC，故③正确；由相交弦定理知④正确．故选B.【答案】 B3．如图42所示，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O7\n的切线，切点为C，PC＝2，若∠CAP＝30°，则⊙O的直径AB等于( )图42A．2B．4C．6D．2【解析】 连结OC，则由PC是切线知OC⊥PC.由∠CAP＝30°，知∠COP＝60°，故∠CPA＝30°.因为PC＝2.∴OC＝2，∴AB＝4.故选B.【答案】 B4．圆内接三角形ABC的角平分线CE延长后交外接圆于点F，若FB＝2，EF＝1，则CE＝( )A．3B．2C．4D．1【解析】 ∵∠ACF＝∠ABF，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBF＝∠FCB，又∠EFB＝∠BFC，∴△FBE∽△FCB，则＝，即＝，∴CF＝4，∴CE＝3.【答案】 A5．如图43，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图43①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；7\n②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】 由圆的切线长定理可知：BC＝BF＋FC＝BD＋CE，∴AD＋AE＝AB＋BC＋CA，①正确；由切割线定理可知AF·AG＝AD2，又∵AD＝AE，∴AF·AG＝AD·AE，②正确；若△AFB∽△ADG，则＝，则AF·AG＝AB·AD.这与AF·AG＝AD2矛盾，③错误．故选A.【答案】 A6．(2022·天津高考)如图44，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：图44①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①②③D．①②④【解析】 对于①，∵BF是圆的切线，∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1.又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，即BD平分∠CBF，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB2＝FD·FA，故②正确；7\n对于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC，∴△BDE≌△ACE.∴＝，即AE·DE＝BE·CE，故③错误；对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD＝∠AFB，∴△BFD∽△AFB，∴＝，即AF·BD＝AB·BF，故④正确．【答案】 D二、填空题7．(2022·湖北高考)如图45，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.图45【解析】 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.则PB＝PA＝2QA＝4.【答案】 48．(2022·湖南高考)如图46，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．图46【解析】 如图，延长AO交圆O于点D，连结BD，则AB⊥BD.在Rt△ABD中，AB2＝AE·AD.∵BC＝2，AO⊥BC，∴BE＝.∵AB＝，∴AE＝1，∴AD＝3，∴r＝.7\n【答案】 9．(2022·重庆高考)如图47，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．图47【解析】 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(5)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 5三、解答题10．(2022·郑州模拟)如图48所示，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.图48(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．【解】 (1)如图所示，连结AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．7\n(2)连结AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝.11．(2022·辽宁高考)如图49，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.图49证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】 (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.12．(2022·太原模拟)如图50所示，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D.图50(1)求证：CE2＝CD·CB；(2)若AB＝BC＝2，求CE和CD的长．7\n【解】 (1)证明：连结BE.∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∠CBE＝∠A.∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CBE，∴＝，∴CE2＝CD·CB.(2)由题题得OB＝1，BC＝2，∴OC＝，∴CE＝OC－OE＝－1.由(1)得(－1)2＝2CD，∴CD＝3－.7
