课时提升练(九) 对数与对数函数一、选择题1．(2022·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac【解析】 由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可判断选项C，D错误．选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒·＝⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立．选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝·＝＝logcb，故恒成立．【答案】 B2．(2022·大理模拟)函数y＝的定义域是( )A．{x|0<x<2}B．{x|0<x<1或1<x<2}C．{x|0<x≤2}D．{x|0<x<1或1<x≤2}【解析】 要使函数有意义，需满足∴∴定义域为{x|0<x<1或1<x≤2}．【答案】 D3．函数y＝lg|x－1|的图象是( )【解析】 由|x－1|>0得x≠1，只有A正确．【答案】 A4．(2022·深圳调研)若f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝log3(x＋1)，则f(－2)＝( )5\nA．－1B．－3C．1D．3【解析】 由题意f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1.【答案】 A5．(2022·烟台模拟)设a＝3，b＝－，c＝log3，则( )A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b【解析】 a＝3>1，b＝－＝3<3＝a，且b>1，c＝log3<log33＝1，∴a>b>c.【答案】 A6．(2022·东营模拟)若lg2＝a，lg3＝b，则log418＝( )A.B.C.D.【解析】 log418＝＝＝.【答案】 D7．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是( )A．(0,1)B.C.D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵a2＋1≥1，而loga(a2＋1)<0，∴0<a<1，又∵loga2a<0，∴2a>1，∴a>，∴<a<1.【答案】 C8．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(0,1)C.D．(3，＋∞)【解析】 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，5\n因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3，故选D.【答案】 D9．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6＋loga2，则a的值为( )A.B.C．2D．4【解析】 当x>0时，函数y＝ax，y＝logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋a2＋loga2，由题意得a＋a2＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．【答案】 C10．(2022·石门月考)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是( )A．b>a>cB．c>a>bC．c>b>aD．a>c>b【解析】 因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．因为1<20.2<2,0<logπ3<1，log39＝2，所以0<logπ3<20.2<log39，所以b>a>c，选A.【答案】 A11．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有( )A．f<f(2)<fB．f<f(2)<fC．f<f<f(2)D．f(2)<f<f5\n【解析】 由f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，如图所示，有f<f<f(0)＝f(2)．【答案】 C12．(2022·课标全国卷)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是( )A.B.C．(1，)D．(，2)【解析】 ∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，∴0<a<1，排除答案C，D；取a＝，x＝，则有4＝2，log＝1，显然4x<logax不成立，排除答案A.故选B.【答案】 B二、填空题13．(2022·东城模拟)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.【解析】 由f(ab)＝1，得lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2×1＝2.【答案】 214．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．【解析】 如图在同一坐标系中画出y1＝log2x与y2＝log3x的图象，由图象可知，当b>a>1，或b<a<1，或a＝b＝1时，都有log2a＝log3b.【答案】 ②④⑤15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式>0的解集为________．5\n【解析】 ∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f＝0，得f＝0.∴>0⇒<－或>⇒x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)．【答案】 ∪(2，＋∞)16．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，则＋的最小值为________．【解析】 因为y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过点A(－2，－1)，且A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1.∴＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当4m2＝n2时取等号．【答案】 85
