【高考复习方案】（新课标）2022届高考数学一轮复习第4单元平面向量课时作业文课时作业(二十三) [第23讲 平面向量的概念及其线性运算](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．已知ABCD为平行四边形，若向量＝a，＝b，则向量＝( )A．a－bB．a＋bC．b－aD．－a－b2．如图K231所示，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量－可表示为( )A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2图K2313．[2022·汕头二模]如图K232所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )A．0B.C.D.图K2324．如图K233所示，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点．若＝a，＝b，则＝( )A.a＋bB.a＋bC.a－bD.a－b图K2335．如图K234所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．15\n图K234能力提升6．如图K235，在△ABC中，＝2，记＝a，＝b，则＝( )图K235A.a＋bB.a－bC.a＋bD.a－b7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝( )A．3B．4C．5D．68．在△ABC中，D为BC的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同向的是( )A.＋B.－C.D．|a|a＋|b|b9．[2022·兰州质检]若M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为( )A.B.C.D.图K23610．[2022·泰安模拟]设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．11．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________．(用e1，e2表示)12．(13分)如图K237所示，在▱ABCD中，已知＝，＝，求证：B，F，E三点共线．图K237难点突破15\n13．(12分)已知a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线．若向量c＝2e1－9e2，则是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？15\n课时作业(二十四) [第24讲 平面向量基本定理及坐标表示](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．[2022·泸州诊断]若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝( )A．(4，6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2，2)2.[2022·沈阳检测]已知平行四边形ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，则的坐标为( )A．(－1，－12)B．(－1，12)C．(1，－12)D．(1，12)3.[2022·成都测试]已知向量a＝(λ＋1，2)，b＝(1，－2)．若a与b共线，则实数λ的值为( )A．3B．2C．－2D．－34．如图K241所示，已知＝，用，表示，则＝( )图K241A.－B.＋C．－＋D．－－5．设向量a＝(4sinα，3)，b＝(2，3cosα)，且a∥b，则锐角α为________．能力提升6．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b.若u∥v，则实数k的值为( )A．－1B．－C.D．17．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b的方向相反，则x的值是( )A．2B．－2C．±2D．08．[2022·北京朝阳区一模]在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )A.B.C.D．19．在平面直角坐标系中，O为原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3，1)，b＝(1，3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能位置的区域用阴影表示正确的是( )15\n图K24210．已知a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3，4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是________．11．如图K243所示，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．图K24312．(13分)设M，N，P是三角形ABC三边上的点，且＝，＝，＝.已知基底向量＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．难点突破13．(12分)已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何非零实数，A，B，M三点都共线．15\n课时作业(二十五) [第25讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2022·南昌模拟]若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是( )A.B.C．2D.2．如图K251所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )图K251A.·B.·C.·D.·3．若·＋2<0，则△ABC必定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )A.B.C.D.5．[2022·绍兴质检]在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则在方向上的投影为____________________．6．已知|a|＝1，b＝(1，)，(b－a)⊥a，则向量a与向量b的夹角为________．能力提升7．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )A．e1在e2方向上的投影为cosθB．e＝eC．(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．e1·e2＝19．已知向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，若向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为( )A．－B.C.D．210．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，若点P在x轴上，则·取得最小值时，点P的坐标为( )A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)11.[2022·郑州质检]已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意正实数t，|ta－b|的最小值是( )A．0B.C.D．112．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的向量积a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ.若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝________．15\n13．[2022·潍坊二模]在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________．14．(10分)已知向量|a|＝|b|＝1，且a·b＝－，求：(1)|a＋b|；(2)a与b－a的夹角．15．(13分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．难点突破16．(12分)已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且x∈[0，]．(1)求a·b与|a＋b|的值；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．15\n课时作业(二十六) [第26讲 数系的扩充与复数的引入](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．给出下列四种说法：①－2i是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的个数为( )A．0B．1C．2D．32．复数＝( )A．1－iB．1＋iC．－iD．i3．复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．[2022·成都检测]复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数为( )A．2－iB．2＋iC．－2＋iD．－2－i5．已知复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________．6．若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________．能力提升7．[2022·沈阳检测]已知a，b∈R，则“a＝0”是“a＋bi为纯虚数”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．[2022·昆明质检]若复数z＝3＋4i，则＝( )A.－iB．－－IC.＋iD．－＋i9．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则b－a＝( )A．－1B．1C．2D．310．[2022·郑州检测]复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )A．(3，3)B．(－1，3)C．(3，－1)D．(2，4)11．[2022·长沙模拟]已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是( )A．3B．2C．1D．012．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．13．[2022·天津二模]已知a，b∈R，i是虚数单位，若＝2－i，则a＋bi＝________.15\n14．(10分)已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取何值时，z满足下列条件：(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．15．(13分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．难点突破16．(1)(6分)若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是( )A．1－2i或－1＋2iB．1＋2i或－1－2iC．－7－24iD．7＋24i(2)(6分)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1.则真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4参考答案课时作业(二十三)1．C [解析]因为＝－，所以＝b－a.2．C [解析]－＝＝e1－3e2.3．D [解析]因为ABCDEF是正六边形，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.4．A [解析]＝＋＝＋＝＋，则＝＝＋＝a＋b.5．2 [解析]根据向量的运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.6．A [解析]＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.7．A [解析]由已知－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，所以＝3.8．C [解析]是a＋b的单位向量，而a＋b与向量是同向的，故选C.15\n9．C [解析]设AB的中点为D，连接DM，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2，如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，所以△ABM与△ABC中边AB上的两高之比为3∶5，故△ABM与△ABC的面积的比值为.10．－1 [解析]∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在非零实数λ，使＝λ，即∴p＝－1.11．－e1＋e2 [解析]∵＝＝e2，∴＝－e2.又∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.12．证明：设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b.∵＝b－a，∴＝＝(b－a)，∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b－a＝a＋b＝a＋b，∴＝，∴向量与向量共线．又它们有公共点B，∴B，F，E三点共线．13．解：存在．由已知得d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝2(λ＋μ)e1＋3(μ－λ)e2.若d与c共线，则存在非零实数m，使d＝mc，即2(λ＋μ)e1＋3(μ－λ)e2＝m(2e1－9e2)，化简得2(λ＋μ－m)e1＝3(λ－μ－3m)e2.∵e1，e2不共线，∴∴∴λ＝－2μ，∴存在这样的实数λ，μ满足λ＝－2μ，使d＝λa＋μb与c共线．课时作业(二十四)1．A [解析]由向量定义及坐标运算，得＝＋＝(4，6)．2．B [解析]根据向量加法的平行四边形法则，得＝＋＝(－3，4)＋(2，8)＝(－1，12)．3．C [解析]因为a与b共线，所以－2(λ＋1)－1×2＝0，得λ＝－2.15\n4．C [解析]＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.5. [解析]因为a∥b，所以4sinα·3cosα＝2×3，所以sin2α＝1.又因为α为锐角，所以α＝.6．B [解析]∵u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)，v＝(2，4)－(0，1)＝(2，3)，又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.7．B [解析]由向量a，b的方向相反，得a＝λb(λ<0)，所以(x，1)＝λ(4，x)＝(4λ，λx)，由此得解得或(舍去)，故x的值是－2.8．A [解析]∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．又∵N为AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ，∴λ＋μ＝(x＋y)＝.9．A [解析]易知＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，令＝(x，y)，则x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)＝2(λ－μ)≤0，∴点C所对应的区域在直线y＝x的上方(包含直线y＝x)，故选A.10.(，－)或(，－) [解析]设向量a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－3，y＋1)．由题意可知4(x－3)＋3(y＋1)＝0，且(x－3)2＋(y＋1)2＝1，得x＝，y＝－或x＝，y＝－，故向量a的终点坐标为(，－)或(，－).11. [解析]因为AB＝2，AH⊥BC，∠ABC＝60°，所以BH＝1.又因为M为AH的中点，所以＝＝＋)＝＋＝＋，所以λ＋μ＝.12．解：如图所示，＝－＝－－＝－－(－)＝b－a.同理可得＝a－b，＝a＋b.15\n13．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．∵＝－＝(4，4)，∴＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2(t2≠0)，∴与共线．又与有公共点A，∴对于任意非零实数t2，都有A，B，M三点共线．课时作业(二十五)1．B [解析]a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4sin30°×＝.2．A [解析]利用向量数量积·(i＝1，2，3，4，5，6)的几何意义．数量积·等于的长度||与在方向上的投影||cos〈，〉的乘积．显然由图可知在方向上的投影最大，故选A.3．B [解析]·＋2<0，即·(＋)＝·<0，则角A为钝角，故△ABC为钝角三角形．4．B [解析]由a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，得b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)．设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.5．1 [解析]易知在方向上的投影为||cos60°＝2×＝1.6. [解析]b＝(1，)⇒|b|＝2，(b－a)⊥a⇒a·b＝a2＝1，所以cosθ＝＝，故向量a与向量b的夹角为.7．C [解析]若|a·b|＝|a||b|成立，则两向量的方向相同或相反，故有a∥b，反之也成立．故选C.8．D [解析]∵|e1|＝1，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝θ，∴e1在e2方向上的投影为|e1|·cosθ＝cosθ，∴A正确；又e＝e＝1，∴B正确；∵(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，∴C正确；e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故D不正确．9．A [解析]由已知得(a＋xb)·(－b)＝0，即a·b＋xb2＝0，即2＋5x＝0，解得x＝－15\n.10．C [解析]设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝(x－3)2＋1≥1，所以x＝3时，·取最小值，所以点P的坐标为(3，0)．11．C [解析]易知a·b＝|a|cos60°＝|a|，|ta－b|＝＝.设x＝t|a|(x>0)，则|ta－b|＝＝≥＝，当且仅当x＝时等号成立．12．2 [解析]∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，∴cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴sinθ＝，∴|a×b|＝2×2×＝2.13. [解析]因为〈，〉＝60°，所以·＝||·||cos60°＝1×3×＝.又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋AC2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.14．解：(1)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，所以|a＋b|＝1.(2)|b－a|2＝b2－2b·a＋a2＝3，即|b－a|＝.又a·(b－a)＝a·b－a2＝－－1＝－，而cos〈a，b－a〉＝＝＝－，所以〈a，b－a〉＝π.15．解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆的半径，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.16．解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x.15\n|a＋b|＝＝＝2.∵x∈[0，]，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.∵x∈[0，]，∴0≤cosx≤1.①若λ<0，则当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．②若0≤λ≤1，则当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝或λ＝－(舍去)．③若λ>1，则当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝即为所求．课时作业(二十六)1．A [解析]①－2i是纯虚数；②两个复数互为共轭复数时，其和为实数，但是两个和为实数的复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④当a＝0时，没有纯虚数和它对应．故选A.2．A [解析]＝＝＝1－i.3．A [解析]＝＝＝＋i，在复平面内对应点的坐标为(，)，所以位于第一象限．4．B [解析]z＝＝＝2－i，故z的共轭复数是2＋i.5. [解析]z＝＝1－i，所以|z|＝.6．2 [解析](1－2i)i＝i－2i2＝2＋i＝a＋bi，根据复数相等的条件可得a＝2，b＝1，所以ab＝2.7．C [解析]当a＝0时，bi不一定是纯虚数，如b＝0，就不是；反之，若a＋bi是纯虚数，则a＝0，b≠0.所以选C.8．A [解析]|z|＝5，则＝＝＝－i.9．D [解析]由＝b＋i(a，b∈R)，得a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi(a，b∈R)，所以所以b－a＝3.15\n10．B [解析]z＝＝＝－1＋3i，其对应的点为(－1，3)．11．B [解析]由已知得M＝{i，－1，－i，2}，Z为整数集，所以Z∩M＝{－1，2}，即集合Z∩M中有2个元素．12. [解析]因为z＝＝2＋i，所以|z|＝＝.13．2＋i [解析]＝2－i⇒(1＋ai)(1－i)＝(2－i)(b＋i)⇒1＋a＋(a－1)i＝2b＋1＋(2－b)i，即解得故a＋bi＝2＋i.14．解：(1)当z为实数时，则有所以所以m＝6，即当m＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则m2－5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1，所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有所以故不存在实数m使z为纯虚数．15．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4，∴z＝4－2i，∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.∵(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴解得2<a<6，∴实数a的取值范围是(2，6)．16．(1)B (2)B [解析](1)设(x＋yi)2＝－3＋4i，则解得或故选B.(2)根据新定义知，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，所以①正确；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1z2＋z3＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，所以②正确；对于③，左边＝(z1z2)*z3＝z1z2 z3，右边＝z1z2*z3＝z1z2z3，不正确；对于④，可以通过举特殊例子进行判断，z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1*z2＝z1z2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，右边＝z2*z1＝z2z1＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以④不正确．15
