课时规范练45 双曲线基础巩固组1.已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2,则a=( ) A.2B.62C.52D.12.(2022辽宁抚顺重点校一模,文8)当双曲线M:x2m2-y22m+6=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±12x〚导学号24190785〛3.(2022河南濮阳一模,文11)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π3,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,6)C.(1,23)D.(3,33)4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=19\n5.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.(2022河北武邑中学一模,文6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x29-y216=1D.x24-y23=17.(2022天津,文5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=18.(2022安徽淮南一模,文11)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.(1,+∞)9\nB.102,+∞C.1,102D.1,52〚导学号24190786〛9.(2022辽宁大连一模,文15)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 . 10.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 . 11.(2022江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线x2a2-y23=1的右焦点,则双曲线的离心率为 . 综合提升组12.(2022辽宁沈阳一模,文5)设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是( )A.y=±33xB.y=±3xC.y=±217xD.y=±213x13.(2022广西桂林一模,文11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),圆F:(x-c)2+y2=c2,直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为23a.若圆F被直线l所截得的弦长为423c,则双曲线的离心率为( )A.43B.53C.2D.3〚导学号24190787〛9\n14.(2022河北张家口4月模拟,文12)已知A,B为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,F1,F2为其左、右焦点,双曲线的渐近线上一点P(x0,y0)(x0<0,y0>0)满足PF1·PF2=0,且∠PBF1=45°,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.5+12D.515.(2022江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 . 16.(2022山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 创新应用组17.(2022石家庄二中模拟,文12)已知直线l1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为( )A.1+52B.1+52C.1+32D.1+32〚导学号24190788〛18.(2022湖北武昌1月调研,文11)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M是它们的一个公共点,且|MF1|>|MF2|,线段MF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2e1+e22的最小值为( )A.6B.3C.6D.3答案：1.D 由已知得a2+3a=2,且a>0,解得a=1,故选D.9\n2.C 由题意,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-y24=1,其渐近线方程为y=±2x.3.A 由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c2a2-1=b4a2,∴|AB|=2b2a.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<π3,∴tan∠AF2F1=b2a2c<33,e=ca>1.∴c2-a22ac<33,12e-12e<33.解得e∈(1,3),故选A.4.D 由题意知,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-y23=1.5.A 由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又x022-y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-33<y0<33.6.C ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上,∴c=5,可得a2+b2=25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=bax上,∴ba=43.②①②联立解得a=3,b=4,可得双曲线的方程为x29-y216=1.9\n7.D ∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.∴双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.8.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤102a,由e=ca>1可得1<e≤102,故选C.9.2 由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=bax平行,∴ba=1,即c2-a2a2=1.解得e2=2,故答案为2.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.11.2 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线x2a2-y23=1的右焦点为(2,0),即有c=a2+3=2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e=c|a|=2.故答案为2.12.B ∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=c2+4b2,∴c2+4b2=2c.∴c2+4b2=4c2,∴c2+4(c2-a2)=4c2.∴c2=4a2,即c=2a,b=c2-a2=3a.∴双曲线的渐近线方程为y=±bax,即为y=±3x.故选B.9\n13.C 由题意,设直线l的方程为y=-abx-23a,即abx+y-2a23b=0,∵圆F被直线l所截得的弦长为423c,∴圆心到直线的距离d=acb-2a23ba2b2+1=c2-223c2.∴e2-3e+2=0.∵e>1,∴e=2,故选C.14.D ∵满足PF1·PF2=0,∴PF1⊥PF2.∴|PO|=12|F1F2|=c.由双曲线的渐近线方程y=-bax,将点P(x0,y0)代入得bx0+ay0=0.①又在Rt△PAO中,|PA|2+|AO|2=|PO|2,即x02+y02=c2.②联立①②解得P(-a,b),则PA⊥AB.又∠PBF1=45°,则|PA|=|AB|,即有b=2a,可得c=a2+b2=5a,则e=ca=5.故选D.15.23 该双曲线的右准线方程为x=310=31010,两条渐近线方程为y=±33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四边形F1PF2Q的面积S=210×3010=23.16.y=±22x 抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.9\n设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x.17.B 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,yM),由x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,得(x1-x2)(x1+x2)a2-(y1-y2)(y1+y2)b2=0,又y1-y2x1-x2=kl1=-1kl2=c-byM,x1+x2=2b,y1+y2=2yM,代入上式得a2=bc,即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=1+52.解法二:设M(b,d),则kOM=db,则由双曲线中点弦的斜率公式kAB·kOM=b2a2,得kAB=b3a2d,∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,∴kl2=kMF=db-c,kAB·kl2=-1,即b3a2d·db-c=-1,化简得bc=a2.∴c2-a2·c=a2,e4-e2-1=0,e=1+52.18.A 设椭圆方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线方程为x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0).9\n∵线段MF1的垂直平分线过点F2,∴|F1F2|=|F2M|=2c.又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得a1-a2=2c,∴2e1+e22=2a1c+c2a2=4a1a2+c22ca2=4(2c+a2)a2+c22ca2=4+2a2c+c2a2≥4+2=6,当且仅当2a1c=c2a2时等号成立,∴2e1+e22的最小值为6.9
