第04节数列求和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【答案】D2.【改编题】设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2022项和为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由“凸数列”的定义可，，，，，，，，，，数列是周期为6的周期数列，且，于是数列的前2022项和为.3.数列的前项的和等于（）A.B.C.D.【答案】A14\n【解析】此数列的特点是个,个，个，，分母相同的和均为，而，故前项的和为，从第项开始是，连续个，所以前项的和等于，故选择A.4.数列的前项和为( )．A.B.C.D.【答案】C5.【2022届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知函数，且，则()A.B.C.D.2022【答案】D【解析】当n为奇数时，n+1为偶数，则，所以，当n为偶数时，n+1为奇数，则，所以，所以故选择D.6.【2022届黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学高三上第一次月考】【在等差数列中，，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】C14\n7.【2022届辽宁省凌源二中高三联考】已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A.B.49C.D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.故选C.8.【2022届河北省邢台市高三上第一次月考】设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（）14\nA.B.C.D.【答案】D=故选D9.【2022届河南省林州市第一中学高三8月调研】已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由数列的递推公式可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，，分组求和可得：，题中的不等式即恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围为本题选择B选项.14\n10.【2022届福建省泉州市高三3月检测】数列满足，则数列的前100项和为（）A.5050B.5100C.9800D.9850【答案】Ba9+a10+a11+a12=44；∵，∴数列{an}的前100项满足S4,S8−S4,S12−S8，…是以12为首项，16为公差的等差数列，则数列{an}的前100项和为S=25×12+25×24×162=5100.故选：B.11.【2022届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测】已知数列中，将数列中的整数项按原来的顺序组成数列，则的值为（）A.5035B.5039C.5043D.5047【答案】C【解析】由题意得，此数列为：，的整数项为：，即整数为：.其规律就是各项之间是这样递增的,,由,解得,14\n,故选C.12.【2022届福建省高三4月检测】已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.只有有限个正整数使得B.只有有限个正整数使得C.数列是递增数列D.数列是递减数列【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022届四川省眉山中学高三5月月考】如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则以此规律为__________．14\n【答案】14.【改编题】已知数列满足，则的前项和=.【答案】【解析】∵，∴.14\n15.【2022届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】已知数列满足，则________.【答案】16.【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】在等差数列中，，则__________，设，则数列的前项的和=__________.【答案】【解析】由题意可得,解得，故an=3+(n−1)×2=2n+1.∵裂项求和可得数列{bn}的前n项和.二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）【2022湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考】已知数列的前项和为，且．14\n（Ⅰ）证明：数列是等比数列，求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则．18.【原创题】已知等比数列{}的公比为，且满足，++=，=.（1）求数列{}的通项公式；（2）记数列{}的前项和为，求证：.【答案】（1）=（）；（2）见解析.【解析】（1）由=，及等比数列性质得=，即=，由++=得+=由得所以，即14\n解得=，或=由知，{}是递减数列，故=舍去，=，又由=，得=，故数列{}的通项公式为=（）（2）由（1）知=，所以=+①=+++…++②①－②得：=++－=（++）－=－=－所以=故.19．【2022届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证：.【答案】（I）；（II）证明见解析.试题解析：（I）由已知易得，由14\n得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.（II），，，.20．【2022届江西省宜春中学高三上学期第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.14\n试题解析：（1）数列为等差数列，所以：，，，因为，成等比数列，所以：，解得：，所以：.（2）已知，①②，①-②得：，所以：，由于，所以：，.21.【2022届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中，，其前项的和为，且满足.(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)证明：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）当时，,，，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，..14\n22.【2022届天津市滨海新区高三上八校联考】已知数列，，为数列的前项和，，，（）（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.【答案】（1）（2）见解析（3）试题解析：（1）当时，当时，，综上，是公比为2，首项为2的等比数列，（2）∵，∴，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，.（3）令①②，得14\n14
