专题3.3利用导数研究函数的单调性一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．∪【答案】A2.定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，令，则为上的减函数，又因为，所以，所以的解为即的解集为，故选A.3．已知函数,若对任意，，则（）A.B.C.D.【答案】A12\n4.已知函数的图象如图所示，则函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的导函数为，结合图像可知可求得，则函数，因为在上为增函数，由复合函数的单调性可知在上为减函数，股本题正确选项为B.5.己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】12\n6.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，因此在上单调递，减，从而，选D.7．函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：令则设，则函数在上单调递增，在上单调递减，在的值域，即故选C．8.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C12\n9．定义在上的函数，是其导数，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．B．[C．D．【答案】A【解析】令，则，可知函数在上单调递增，故当时，，即，即．10.若函数有两个零点，则的取值范围（）A. B.C. D.【答案】A【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有两个公共点，则，则，当时，，当时，，，，则，12\n当，，，，则，此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，由于函数有两个零点，结合图象知，解得，故选A.11．已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l（A）有3条 （B）有2条 （C）有1条 （D）不存在【答案】12\n消去a得，设，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，当，所以在有唯一解，则，而时，，与矛盾，所以不存在．12.已知函数的两个极值点分别为，，且，，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】12\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.定义在上的函数满足，的导函数，且恒成立，则的取值范围是【答案】【解析】设设，所以14.已知函数在区间内单调,则的最大值为__________.12\n【答案】15.已知函数（为常数），曲线在点处的切线与轴平行，则的单调递减区间为_____________．【答案】【解析】由题意，得．因为，曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得，所以．因为当时，即时函数单调递减．在同一直角坐标系作出函数与的图象，如图所示，由图知，当时恒成立，所以的单调递减区间为．16.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是.【答案】.【解析】12\n三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2022广东惠州一调】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．【答案】（Ⅰ）时，在上单调递增，时，当时，在单调递减．在单调递增；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）的定义域为，①若，在上单调递增②若，当时，，在单调递减．当时，，在单调递增．（Ⅱ）等价于令，则由（Ⅰ）知，当时，，即.所以，则在上单调递增，所以即12\n18.设函数（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间;（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．【答案】（1）；递增区间为：和，递减区间为：；（2）又，有，有，由有，又关系有下表00递增递减递增的递增区间为和，递减区间为（Ⅱ）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，，需时恒成立，化为恒成立，，19.【2022北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；12\n（2）求的单调区间.【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.【解析】所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，，故的单调递增区间为.20.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）若在轴右侧，函数的图像都在函数图像的上方，求整数的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】12\n（2）解：令，所以．当时，因为，所以，所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立当时，，令，得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．令，12
