两角和与差的三角函数时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．(2022·福建高考)函数f(x)＝sinxcosx的最小值是( )A．－1 B．－C.D．1解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)min＝－.答案：B2．(2022·陕西高考)假设3sinα＋cosα＝0，那么的值为( )A.B.C.D．－2解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，那么＝＝＝，应选A.答案：A3．(2022·湖南郴州三模)函数y＝sinxsin＋sincos2x的最大值和最小正周期分别为( )A．1，πB．2,2πC.，2πD.，π解析：y＝sinxsin＋sincos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，那么其最大值和最小正周期分别为1，π，应选A.答案：A4．已知sin(α－)＝，那么cos(α＋)的值等于( )A.B．－C．－D.解析：∵sin(α－)＝，∴sin(－α)＝－，5/5\n∴cos(α＋)＝cos[－(－α)]＝sin(－α)＝－.答案：C5．假设sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，其中α＋β∈，α－β∈，那么sin2β＝( )A.B．－C．1D．－1解析：∵2β＝(α＋β)－(α－β)，∴sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)．又sin(α＋β)＝，α＋β∈(，π)∴cos(α＋β)＝－，sin(α－β)＝－，α－β∈(－，0)，∴cos(α－β)＝，∴sin2β＝×－(－)×(－)＝.答案：A6．已知cos＋sinα＝，那么sin的值是( )A．－B.C．－D.解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，得sin＝，sin＝－sin＝－，应选C.答案：C二、填空题(每题5分，共20分)7．(2022·上海高考)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1≥1－.答案：1－8．函数y＝cos2x－sinx的最小值为__________．解析：y＝(1－2sin2x)－sinx＝－2(sin2x＋sinx)＋1＝－2(sinx＋)2＋.∵sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，y取得最小值－2.5/5\n答案：－29．已知函数f(x)＝，那么f(x)＋f(－x)的值为__________．解析：f(x)＋f(－x)＝＋＝＝＝＝＝.答案：10．cot20°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°＝__________.解析：原式＝tan70°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°＝tan70°(sin10°＋cos10°)－2cos40°＝·2·sin40°－2cos40°＝·2·2sin20°cos20°－2cos40°＝4cos220°－2cos40°＝2(2cos220°－1)＋2－2cos40°＝2.答案：2三、解答题(共50分)11．(15分)已知cos＝，x∈.(1)求sinx的值；(2)求sin的值．解：(1)因为x∈，所以x－∈，于是sin＝＝.sinx＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.(2)因为x∈，故cosx＝－＝－＝－.sin2x＝2sinxcosx＝－，5/5\ncos2x＝2cos2x－1＝－.所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.12．(15分)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinα·cos(α＋β)．(1)假设α＋β＝，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．解：(1)∵α＋β＝，∴sinβ＝sin(－β)cos＝sin(－β)＝(cosβ－sinβ)，化简得：sinβ＝cosβ，∵β是锐角，∴tanβ＝.(2)由已知得：sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝＝＝＝≤＝.当且仅当＝2tanα，即tanα＝时，tanβ取得最大值，此时，tan(α＋β)＝＝.13．(20分)(2022·江西高考)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)假设S△ABC＝3＋，求a，c.解：(1)因为tanC＝，即＝，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)，所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.又因为sin(B－A)＝cosC＝，5/5\n那么B－A＝或B－A＝(舍去)，得A＝，B＝.∴A＝，C＝.(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，又＝，即＝，得a＝2，c＝2.5/5
