江苏沛县地区2022年高考考前指导三一、圆周运动关于圆周运动，在高考中除了一般会出现星体问题，带电粒子在匀强磁场中的运动的试题外，还常会出现其他考查动能和功能关系的圆周运动问题．如2022年高考安徽理综卷第24题、浙江理综卷第24题，2022年高考山东理综卷第24题、广东物理卷第17题，2022年高考全国理综卷Ⅱ第23题等．●例1 如图3－5所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，则下列说法正确的是( )图3－5A．若hA＝hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点B．若hA＝hB＝，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为，B小球在hB>2R的任何高度均可【解析】当hB＝2R时，B小球能沿圆管运动到达最高点，且由机械能守恒定律知到达最高点时速度减为零，故当hA＝2R时，A小球到达最高点前已离开圆弧轨道；同理，当hA＝hB＝R时，B小球能恰好上升至R，A小球上升至前已离开圆弧，故选项A、B错误．要使小球从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口，在最高点的初速度应为v0＝＝又因为A小球沿凹槽到达最高点的条件为m≥mg，即v≥，故A小球不可能从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口处．又由机械能守恒定律，A小球能到达凹槽轨道高点的条件为：mgha≥mg·2R＋m()2得ha≥R．故选项C错误、D正确．[答案] D【点评】除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外，竖直方向的圆周运动问题是较常出现的题型．本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系．二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算-5-\n1．星体表面的重力加速度：g＝G2．天体质量常用的计算公式：M＝＝●例2 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T，引力常量为G，那么( )A．可以计算火星的质量B．可以计算火星表面的引力加速度C．可以计算火星的密度D．可以计算火星的半径【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G＝mr而火星的质量M＝ρπr3联立解得：火星的密度ρ＝由M＝，g＝G＝r知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，所以C正确．[答案] C【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2022年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2022年高考上海物理卷1(A)等． ★同类拓展1 我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为( )A． B． C． D．【解析】设月球表面附近的重力加速度为g0．有：T＝2π又由g0＝G，ρ＝可解得ρ＝．[答案] B三、行星、卫星的动力学问题不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．●例3 2022年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2022年高考·山东理综卷]( )A．飞船变轨前后的机械能相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度【解析】-5-\n飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝知，C正确．由牛顿第二定律a＝＝G知，变轨前后过同一点的加速度相等．[答案] BC【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a＝＝ω2r，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a＝来比较．★同类拓展2 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2022年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2022年3月1日16日13分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G．根据题中信息( )A．可以求出月球的质量B．可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力C．可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速D．可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2km/s【解析】由G＝mR可得月球的质量M＝，A正确．由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B错误．卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C正确．嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2km/s，D错误．[答案] AC四、星体、航天问题中涉及的一些功能关系1．质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能Ek＝mv2＝G越小，引力势能越大，总机械能越大．2．若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r处卫星的引力势能Ep＝－G(不需推导和记忆)．在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为Ek≥|Ep|＝G．●例4 2022年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．(1)若将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍．(结果保留一位有效数字)(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为Ep-5-\n＝－G(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量G＝6.7×10－11N·m2/kg2，光速c＝3.0×108m/s，太阳质量MS＝2.0×1030kg，太阳半径RS＝7.0×108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少．(结果按四舍五入保留整数)[2022年高考·天津理综卷]【解析】(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则有：G＝mS2ω2rω＝设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则：G＝mE()2rE综合上述三式得：＝()3()2上式中TE＝1年，rE＝1天文单位代入数据可得：＝4×106．(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零．根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：mc2－G＜0依题意可知：R＝RA，M＝MA可得：RA＜代入数据得：RA＜1.2×1010m故＜17．[答案] (1)4×106 (2)<17【点评】①“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动能定理方程：mc2－G<0．②Ep＝－G是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少．★同类拓展3 2022年10月12日，神舟六号飞船顺利升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了73圈．运行中需要多次进行轨道维持．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是( )A．飞船受到的万有引力逐渐增大、线速度逐渐减小B．飞船的向心加速度逐渐增大、周期逐渐减小、线速度和角速度都逐渐增大C．飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小-5-\nD．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【解析】飞船的轨道高度缓慢降低，由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大，向心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由G＝m＝mω2r＝mr知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少．[答案] BD五、双星问题●例5 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)[2022年高考·宁夏理综卷]【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有：ω1＝ω2r1＋r2＝r根据万有引力定律和牛顿定律，有：G＝m1r1ω12G＝m2r2ω22联立解得：r1＝根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝联立解得：m1＋m2＝．[答案] 【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心．-5-
