(三)应用题1．南半球某地区冰川的体积每年随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系式为V(t)＝(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i－1<t<i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？(2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t≤10时，由V(t)＝－t3＋11t2－24t＋100<100，化简得t2－11t＋24>0，解得t<3或t>8.又0<t≤10，故0<t<3或8<t≤10，当10<t≤12时，由V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋100<100，解得10<t<，又10<t≤12，故10<t≤12.综上得0<t<3或8<t≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月，共7个月．(2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)内取到．当t∈(3,9)时，V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24，令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝(舍去)．当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：5\nt(3,6)6(6,9)V′(t)＋0－V(t)极大值由上表知，V(t)在t＝6时取得最大值V(6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．2．(2022·扬州期末)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn＋1000)元(其中k为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用)注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数．(1)求k的值；(2)问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？解 (1)每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k＋1000)＋(2k＋1000)＋(3k＋1000)＋(4k＋1000)＋(5k＋1000)]×1000×10＝(15k＋5000)×10000＝(3k＋1000)×50000，所以＝1920，解得k＝200.(2)设在每个省有n(n∈N*)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知f(n)＝所以f(n)＝100n＋＋1100≥2＋1100＝1900，5\n当且仅当100n＝，即n＝4时，等号成立．答 每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．3．如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB＝8(百米)，BC＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG，满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE＝0.5(百米)，AH＝4(百米)，N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离的乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN的面积；(2)已知音乐广场M在AB上，AM＝2(百米)，若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q为中心建一个休息区，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，问点P在何处时，AQ最小．解 (1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E，因为E到AD与AH距离的乘积为2，所以曲线EF上的任意一点都在函数y＝－的图象上．由题意，N(－2,0)，所以F(－2,1)．四边形FGHN的面积为××2＝(平方百米)．(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y)，＝(y，－x＋2)，＝(y＋2，－x＋2)，因为点Q在原植物园内，所以即－2≤x≤2.又点P在曲线EFG上，x∈，所以－2≤x≤－，则点P在曲线段EF上，5\nAQ＝，因为y＝－，所以AQ＝＝＝＝＝－x＋＋2≥2＋2.当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立．此时点P(－，)，即点P在距离AD与AH均为百米时，AQ最小．4．(2022·江苏省金陵中学期末)如图，在一个水平面内，河流的两岸平行，河宽为1(单位：千米)，村庄A，B和供电站C恰位于一个边长为2(单位：千米)的等边三角形的三个顶点处，且A，C位于河流的两岸，村庄A侧的河岸所在直线恰经过BC的中点D.现欲在河岸上A，D之间取一点E，分别修建电缆CE和EA，EB.设∠DCE＝θ，记电缆总长度为f(θ)(单位：千米)．(1)求f(θ)的解析式；(2)当∠DCE为多大时，电缆的总长度f(θ)最小，并求出最小值．解 (1)易得AD垂直平分BC，CD＝BD＝1，则CE＝EB＝，ED＝tanθ，AE＝－tanθ，于是f(θ)＝＋＋－tanθ＝＋，因为E在A，D之间，所以0<θ<，故f(θ)＝＋，0<θ<.(2)f′(θ)＝，0<θ<，5\n令f′(θ)＝0，得sinθ＝，θ＝，故当0<θ<时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减，当<θ<时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增，所以当θ＝时，f(θ)min＝f＝＋＝2.答 当∠DCE＝时，f(θ)取得最小值2千米．5
