专题5.3平面向量的数量积【考纲解读】内容要求备注A B C 平面向量平面向量的数量积 √ 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【直击考点】题组一常识题1．已知在△ABC中，B是最大内角，·<0，则△ABC的形状是____________．【解析】设与的夹角为θ，则·＝||·||cosθ<0，得cosθ<0，所以cosB＝cos(π－θ)>0，所以B为锐角．又B是三角形的最大内角，所以△ABC为锐角三角形．2．在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则·＝________．3．已知向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，则向量b在向量a上的投影为______．【解析】∵向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，∴向量b在向量a上的投影为＝＝.4．已知力F1和F2的合力为12N，F1为24N，力F2与合力F的夹角为90°，则力F1与F2的夹角的大小为________．8\n【解析】由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F|＝12N，|F1|＝24N，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.题组二 常错题5．在△ABC中，若＝1，＝2，则AB边的长度为________．6．已知＝(2，－1)，＝(3，3)，则向量在上的投影为________．【解析】向量在上的投影为＝＝.题组三 常考题7．已知向量＝，＝，则∠ABC＝________．【解析】因为cos∠ABC＝＝－，所以∠ABC＝150°.8．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．【解析】由|2a＋b|＝，两边同时平方得4a2＋4a·b＋b2＝7，即|b|2＋2|b|－3＝0，解得|b|＝1或|b|＝－3(舍去)．9．已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，且(a＋b)·b＝|a|，则实数x＝________．8\n【知识清单】考点1平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.8\n2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)考点2向量的夹角与向量的模1.a·a＝|a|2，.2．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)3.a⊥ba1b1＋a2b2＝0.4.|a·b|≤|a||b|.考点3向量数量积的综合应用1.a·a＝|a|2，.2．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)3.a⊥ba1b1＋a2b2＝0.【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．【重点难点突破】考点1平面向量数量积的运算【1-1】已知则向量在向量上的投影等于.【答案】【解析】∵，而在上的投影为.【1-2】已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·＝.【答案】8【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴＋＝，∴＝－8\n＝(－1，－1)．又＝－＝(－3，－5)，∴·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8．【思想方法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.考点2向量的夹角与向量的模【2-1】是两个向量，且，则与的夹角为.【答案】【解析】由知，==0，所以=-1，所以==，所以与的夹角为.【2-2】若同一平面内向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于.【答案】2或5【2-3】△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为.【答案】8\n【解析】由||=5,||=8,·=20,，又，，由余弦定理得【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定.考点3向量数量积的综合应用【3-1】已知为坐标原点，向量，，，且，则值为.【答案】【3-2】已知A，B，C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈，若＝－1，则的值为.【答案】－【解析】由＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，得＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝，∴2sinαcosα＝－，8\n＝＝＝－.【3-3】已知函数，实数x，y满足，若点，，则当时，的最大值为(其中O为坐标原点)【答案】【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．【易错试题常警惕】(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立.实际上由a·8\nb＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.8
