专题3.4导数的实际应用1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】(1)a＝2.(2)x＝42.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：-16-\n①y＝＋2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【答案】(1)详见解析(2)①不符合②符合则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(x)≤9恒成立．设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－.-16-\n当x≥10时，g′(x)＝－≤<0，所以g(x)在[10,1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1<0.所以4lgx－3－<0，即4lgx－3<，所以f(x)≤恒成立．故该函数模型符合公司要求．3.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是_______．【答案】3004.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】(1)17.5(2)80千米/小时，11.25升【解析】(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油×(×403－×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升．-16-\n(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝(x3－x＋8)·＝x2＋－(0<x≤120)，h′(x)＝－＝(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．5.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．【答案】2∶1【解析】设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝(x－2)(x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.6.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？【答案】该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600-16-\n7.某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？【答案】25-16-\n8.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB＝xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？【答案】(1)y＝2，1<x<2.(2)长为m，宽为(2－)m【解析】(1)由题意AB＝x，BC＝2－x.因为x>2－x，所以1<x<2.设DP＝y，则PC＝x－y.因为△ADP≌△CB′P，所以PA＝PC＝x－y.-16-\n9.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)-16-\n【答案】(1)f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0,3]．(2)在2m到3m之间【解析】(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，依题意解得a0＝1，b0＝－4，c0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为10.一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边上分别取点（不与正方形的顶点重合），连接，使得.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，部分规划为蜂巢区，部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为元/百米2-16-\n，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？ABCDEF第17题图【答案】从而三个区域的总投入的最小值约为元................14分（说明：这里的最小值也可以用导数来求解：因为，则由，得.当时，，递减；当时，，递增.所以当时，取得最小值为.）-16-\n解法二：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值................2分ABCDEFxy因为，所以，........8分所以，..............10分-16-\n即，解得，即取得最小值为，从而三个区域的总投入的最小值约为元................14分11.经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.（1）若，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)若，由，得．解得．…………………………………………………………………3分因为，所以．-16-\n（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是．12.某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为（单位：元，）时，销售量（单位：百台）与的关系满足：若不超过，则；若大于或等于，则销售量为零；当时，（，为实常数）．（1）求函数的表达式；（2）当为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．-16-\n【答案】（1）（2）当等于元时，总利润取得最大值元当时，，，令，得．…………10分当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，有最大值．…………12分当时，﹒答：当等于元时，总利润取得最大值元．…………14分13.如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞，B，C间的距离为100㎞，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25㎞/h，再乘汽车到C，车速为50㎞/h，记∠BDA＝θ．（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？-16-\nBACDθ【答案】（1）t(θ)＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）（2）θ＝14.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；方案②多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．-16-\n【答案】方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且+0-极大值所以当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因为，所以建苗圃时用方案②，且．答：方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且-16-\n．-16-
