第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1．(2022·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以随机变量ξ的分布列是ξ01P因此E(ξ)＝1×＋×＝.2．(2022·山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1，1，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝1－－＝，所以X的分布列为4\nX0－11P则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.3．(2022·江苏卷)设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k个k，…，即当<n≤(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数．解 (1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得，Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)·(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008.4．(2022·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．4\n证明 (1)设三边长分别为a，b，c，cosA＝，∵a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数．(2)①当n＝1时，显然cosA是有理数；当n＝2时，∵cos2A＝2cos2A－1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、cos(k－1)A均是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝coskAcosA－sinkAsinA＝coskAcosA－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]＝coskAcosA－cos(k－1)A＋cos(k＋1)A解得：cos(k＋1)A＝2coskAcosA－cos(k－1)A∵cosA，coskA，cos(k－1)A均是有理数，∴2coskAcosA－cos(k－1)A是有理数，∴cos(k＋1)A是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．5．记…的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(p＜q)，使bn＝，对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．解 (1)根据多项式乘法运算法则，得an＝＋＋…＋＝1－.(2)计算得b2＝，b3＝.代入bn＝，解得p＝－2，q＝－1.4\n下面用数学归纳法证明bn＝＝－＋×(n≥2且n∈N*)①当n＝2时，b2＝，结论成立．②设n＝k时成立，即bk＝－＋×，则当n＝k＋1时，bk＋1＝bk＋＝－＋×＋－＝－＋×.由①②可得存在常数p＝－2，q＝－1使结论对n∈N*，n≥2成立．6．(2022·江苏卷)设集合Pn＝{1，2，…，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．解 (1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2k，其中m为奇数，k∈N*.由条件知，若m∈A，则x∈A⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数．于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)＝4
