星期四 (函数与导数问题) 2022年____月____日设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)．(1)若a＞0，讨论f(x)的单调性；(2)x＝1时，f(x)有极值，证明：当θ∈时，|f(cosθ)－f(sinθ)|＜2.解 (1)f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)＝aex(x＋)(x＋2)，当a＝时，f′(x)＝ex(x＋2)2≥0，f(x)在R上单增；当0＜a＜时，由f′(x)＞0，得x＞－2或x＜－；由f′(x)＜0，得－＜x＜－2，∴f(x)在和(－2，＋∞)上单调递增，在上单调递减．当a＞时，由f′(x)＞0，得x＞－或x＜－2；由f′(x)＜0，得－2＜x＜－，∴f(x)在(－∞，－2)和)上单调递增，在上单调递减．(2)证明 ∵x＝1时，f(x)有极值，∴f′(1)＝3e(a＋1)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝ex(－x2＋x＋1)，f′(x)＝－ex(x－1)(x＋2)．由f′(x)＞0，得－2＜x＜1，2\n∴f(x)在[－2，1]上单调递增．∵θ∈，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f(cosθ)－f(sinθ)|≤f(1)－f(0)＝e－1＜2.2
