专题对点练17 空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2022江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.6\n4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=45.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD⊥平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.6.(2022北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.6\n7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=23,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.(1)求证:GH⊥D'A;(2)求三棱锥C-D'BE的体积.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD⊥平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.6\n专题对点练17答案1.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=3,DF=32,得cos∠BDF=217,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.3.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=45,所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,6\n故平面MBD⊥平面PAD.(2)解过点P作PO⊥AD交AD于点O,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=32×4=23.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为4×845=855,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=25+452×855=24.故VP-ABCD=13×24×23=163.5.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=12PO=3,AN=12DO=52.在Rt△ANM中,tan∠MAN=MNAN=352=655,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为655.6.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=12BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,6\n∴ED∥BC,ED=12BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.7.(1)证明连接BE,GH,AC,在△AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC=ED2+CE2=25,AC=22,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.(2)解设三棱锥C-D'BE的体积为V,则V=13S△BCE·AD'=13×12×2×2×23=433.8.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,∴DE=CB=2,∴AD=DE2+AE2=5.∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,∴SA=SB=AB=2,且SE=3.又SD=1,∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,∴SD⊥SA,SD⊥SB.∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.(2)解设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD⊥平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得13S△ABD·h=13S△SAB·SD.又S△ABD=12AB·DE=12×2×2=2,S△SAB=34AB2=34×22=3,SD=1,所以h=S△SAB·SDS△ABD=3×12=32.故四棱锥S-ABCD的高为32.6
