专题能力训练15 椭圆、双曲线、抛物线(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.方程(x+y-3)=0表示的曲线是( ) A.两条射线B.抛物线和一条线段C.抛物线和一条直线D.抛物线和两条射线2.(2022浙江金丽衢十二校二模)双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是( )A.y=±4xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x3.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为1,则p的值为( )A.1BC.2D.44.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是( )A.32B.16C.8D.45.如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且=4,则双曲线C的离心率为( )ABCD6.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足∠APB=120°,则m的取值范围是( )A[12,+∞)B[6,+∞)C[12,+∞)D[6,+∞)7.已知双曲线=1(a>0,b>0),A1,A2是其实轴顶点,F是其右焦点,B(0,b)是其虚轴端点,若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)构成以A1A2为斜边的直角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A.(,+∞)BC5\nD8.(2022浙江绍兴一中期末)已知抛物线y2=4x的焦点为F,若A,B是该抛物线上的点,∠AFB=90°,线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为点N,则的最大值为( )AB.1CD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知一椭圆的方程为=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为 ,△ABF2的面积的最大值为 . 10.已知双曲线过点(2,3),其渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 . 11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若,则||=.12.已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(2,0),则p= ;若已知点A(6,3),且点M在抛物线C上,则|MA|+|MF|的最小值为 . 13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.14.已知A是双曲线C:=1(a,b>0)的右顶点,过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线于P,Q两点,若△APQ是锐角三角形,则双曲线C的离心率的范围是 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点M(3,t)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点T(-2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若在x轴上存在一点E,使得△EAB是以点E为直角顶点的直角三角形,求直线l的斜率的取值范围.16.(本小题满分15分)如图,已知椭圆+y2=1的左、右顶点分别是A,B,设点P(,t)(t>0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若四边形OBPC的面积是,求t的值.5\n参考答案专题能力训练15 椭圆、双曲线、抛物线1.D 解析∵(x+y-3)=0,∴x+y-3=0(y2-4x≥0)或y2=4x.∴x+y-3=0(x≤1或x≥9)或y2=4x.∴方程(x+y-3)=0表示的曲线是抛物线和两条射线.故选D.2.D 解析双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是y=±x.故选D.3.B 解析双曲线-x2=1的渐近线为y=±2x,抛物线y2=2px的渐近线为x=-,渐近线与准线的交点为A,B,所以S△OAB=×2p=1,p=.故选B.4.B 解析因为双曲线C1:=1与双曲线C2:=1的离心率相同,所以,解得,即双曲线C1的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0.又因为OM⊥MF2,△OMF2的面积为16,所以|OM|·|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦点F2(c,0)到渐近线x-2y=0的距离为4,所以=4,解得c=4,a==8,2a=16,即双曲线C1的实轴长为16.故选B.5.A 解析因为∠PAQ=60°且=4,所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则PQ=2R,OP=R,渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则由点到直线距离得AM=,在Rt△APM中,由勾股定理可得(2R)2-R2=,所以(ab)2=3R2(a2+b2),①在△OQA中,由余弦定理得,所以R2=a2,②由①②结合c2=a2+b2,可得e=.故选A.6.A 解析当椭圆的焦点在x轴上时,0<m<4,当P位于短轴的端点时,∠APB取最大值,要使椭圆C上存在点P满足∠APB=120°,则∠APB≥120°,∠APO≥60°,tan∠APO=≥tan60°=,解得0<m≤.当椭圆的焦点在y轴上时,m>4,当P位于短轴的端点时,∠APB取最大值,要使椭圆C上存在点P满足∠APB=120°,则∠APB≥120°,∠APO≥60°,tan∠APO=≥tan60°=,解得m≥12.故m的取值范围是∪[12,+∞),应选A.7.D 解析如图,由题意知F(c,0),B(0,b),则直线BF的方程为bx+cy-bc=0,5\n∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)构成以线段A1A2为斜边的直角三角形,∴以A1A2为直径的圆与BF交于两点,即O与BF的距离小于a,∴<a.∴e4-3e2+1<0.∵e>1,∴e<.∵a<b,∴a2<c2-a2.∴e>.∴<e<.故选D.8.C 解析设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BQ.由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b)2,得到|AB|≥(a+b).∴,即的最大值为.故选C.9.10 2 解析连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,×2×2=2.10.x2-=1 解析∵双曲线渐近线方程为y=±x,故可设双曲线方程为x2-=λ,∵双曲线过点(2,3),则4-=λ,即λ=1,故双曲线的标准方程是x2-=1.11.5 解析由题意,知F(1,0),设M(x0,y0),N(x,y),则由,可得(x0-1,y0)=(x-x0,y-y0)⇒又由题意可知x=0,则x0=,y0=±=±,y=3y0=±,则||==5.12.4 8 解析抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(2,0),则p=4.已知点A(6,3),且点M在抛物线C:y2=8x上,可知A在抛物线内部,则|MA|+|MF|的最小值为M到抛物线的准线的距离;抛物线的准线方程为x=-2,则|MA|+|MF|的最小值为8.13. 解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,5\n∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=.设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=.又tanθ=,∴,解得a2=3b2,∴e=.14.(1,2) 解析由题意得∠PAF<45°,PF<AF,即<a+c,∴b2<a2+ac,∴c2-a2<a2+ac⇒e2-e-2<0,又∵e>1,∴1<e<2.15.解(1)由已知,可得3+=5,∴p=4.∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)显然直线l的斜率不为0,设直线l:x=my-2,代入y2=8x,得y2-8my+16=0.由Δ=64m2-64>0,解得m2>1.①设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,0),则y1+y2=8m,y1y2=16.∴x1+x2=8m2-4,x1x2=4.∵△EAB是以点E为直角顶点的直角三角形,即AE⊥BE,又=(x0-x1,-y1),=(x0-x2,-y2),∴=(x0-x1)(x0-x2)+y1y2=-(x1+x2)x0+x1x2+y1y2=-(8m2-4)x0+20=0.∴方程-(8m2-4)x0+20=0在R上有解.∴Δ=(8m2-4)2-80≥0,解得m2≥.②由①②,得m2≥.∴.∴直线l的斜率的取值范围为-≤k≤,且k≠0.16.解(1)设直线PA的方程为y=(x+),由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x1=-,x2=,则点C的坐标是,故直线BC的斜率kBC=-,由于直线OP的斜率kOP=,故kBC·kOP=-1,∴OP⊥BC.(2)由S四边形OBPC=,S四边形OBPC=,得,整理得(t-1)(5t2+2t+12)=0.∵5t2+2t+12≠0,∴t=1.5
