【数学导航】2022届高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明同步练习文第一节 不等关系与不等式1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用．1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒ab＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＞；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒>>.(2)有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则71\n①真分数的性质＜；＞(b－m＞0)；②假分数的性质＞；＜(b－m＞0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(3)同向不等式具有可加和可乘性．( )(4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)√2．下列命题正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若＞，则a＜b D．若＜，则a＜b答案： D3．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析： ⇒.又当ab＞0时，a与b同号，由a＋b＞0知a＞0，且b＞0.答案： C4.________＋1(填“＞”或“＜”)．解析： ＝＋1＜＋1.答案： ＜5．下列不等式中恒成立的是________．①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.解析： m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；71\n5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．答案： ①②比较两个数(式)的大小1．若a1＜a2，b1＜b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析： 作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1＜a2，b1＜b2，∴(a1－a2)·(b1－b2)＞0，即a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1.答案： a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b12．若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)．解析： 易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.答案： ＜3．若实数m≠1，比较m＋2与的大小．解析： m＋2－＝＝，∴当m＞1时，m＋2＞；当m＜1时，m＋2＜. 比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小．不等式的性质(1)(2022·四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．＞ B．＜C．＞ D．＜(2)(2022·陕西咸阳摸底)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )71\nA．a2＞b2 B．＜1C．lg(a－b)＞0 D．a＜b解析： (1)∵c＜d＜0，∴0＞＞，∴－＞－＞0，又a＞b＞0，∴－＞－，故选B．(2)当a＝－1，b＝－2时，a2＜b2，＞1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C，故选D．答案： (1)B (2)D1．(2022·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0解析： 当b≥0时，a＋b<0；当b<0时，a－b<0，∴a<b<0，∴a＋b<0，故选D．答案： D2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析： ∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②正确．∵c<d，∴－c＞－d.∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，71\n故④正确，故选C．答案： C3．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c＞9解析： 由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0①，由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得4a－b－13＝0②，由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，即6＜c≤9，故选C．答案： C 1.判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．2．在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解析： 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2100h；预计此产品明年的销售量至少为80000袋；生产每袋产品需用4h；生产每袋产品需用原料20kg；年底库存原料600t，明年可补充1200t．试根据这些数据预测明年的产量．解析： 设明年的产量为x袋，则解得80000≤x≤90000.预计明年的产量在80000袋到90000袋之间．71\n 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围．A级 基础训练1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．不确定解析： M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.答案： B2．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是( )A． B．C．(0，π) D．解析： 由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.答案： D3．(2022·山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是( )A．a2＜b2 B．a2b＜ab2C．＜ D．＜解析： 由a<b<0得a2>b2，知A不成立；由a<b，若ab<0，则a2b>ab271\n，知B不成立；若a＝1，b＝2，则＝2，＝，此时>，所以D不成立；对于C，∵－＝<0，∴<.故选C．答案： C4．(2022·山东泰安一模)如果a＞b，则下列各式正确的是( )A．algx＞blgx B．ax2＞bx2C．a2＞b2 D．a·2x＞b·2x解析： A项，当lgx＝0，即x＝1时不满足；B项，当x2＝0时不满足；C项，当a＝1，b＝－2时不满足；D项，因为2x＞0，所以a·2x＞b·2x.综上可知选D．答案： D5．设甲：m，n满足乙：m，n满足那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析： 由⇒2＜m＋n＜4,0＜mn＜3；但⇒/反例，如故甲是乙的必要不充分条件．答案： B6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析： ∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案： (－3,3)7．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．解析： ＋－＝＋＝(a－b)＝.∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.71\n答案： ＋≥＋8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析： ∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z∈[3,8]．答案： [3,8]9．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：＞.证明： ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜＜.又∵e＜0，∴＞.10．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司要生产A类产品至少50件，B类产品至少140件，所需租赁费最多不超过2500元，写出满足上述所有不等关系的不等式．解析： 设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，则甲、乙两种设备每天生产A，B两类产品的情况如表所示：A类产品(件)B类产品(件)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则x，y满足即B级 能力提升1．(2022·北京平谷4月)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0；②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；71\n③若bc－ad＞0，－＞0，则ab>0.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析： ∵ab＞0，bc－ad＞0，∴－＝＞0，∴①正确；∵ab＞0，又－＞0，即＞0，∴bc－ad＞0，∴②正确；∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0，∴ab＞0，∴③正确．故选D．答案： D2．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是________．解析： ∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，当a＞0时，b2＞1＞b，即解得b＜－1；当a＜0时，b2＜1＜b，即无解．综上可得b＜－1.答案： (－∞，－1)3．已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，的取值范围．解析： ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45，即a－b的取值范围是(－24,45)．∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜4，71\n即的取值范围是.4．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解析： 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节 一元二次不等式及其解法1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象71\n一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1．分式不等式与一元二次不等式的关系(1)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0.(2)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0.(3)≥0等价于(4)≤0等价于2．两个常用的结论(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．( )答案： (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2．不等式x(2－x)＞0的解集是( )A．(－∞，0) B．(0,2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)71\n答案： B3．x2－ax＋b＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，则a＋b的值是( )A．1 B．－1C．11 D．12答案： C4．a<0时，不等式x2－2ax－3a2<0的解集是________．解析： ∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又a<0，∴不等式的解集为{x|3a<x<－a}．答案： {x|3a<x<－a}5．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析： ∵不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4＞0，即a2＞16.∴a＞4或a＜－4.答案： (－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x2＋3x＋4＜0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)12x2－ax＞a2(a∈R)．解析： (1)由Δ＝9－16＝－7＜0，故不等式的解集为∅.(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥，故不等式的解集为.(3)原不等式可化为12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0得x1＝－，x2＝.①a＞0时，－＜，此时不等式等价于x＜－或x＞.②a＝0时，不等式等价于x2＞0⇔x≠0.③a＜0时，－＞，此时不等式等价于x＜或x＞－.综上所述，当a＞0时，不等式的解集为；71\n当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为.解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a>0)．解析： (1)原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，∴x∈R，故原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.因a>0，原不等式可以化为a(x－2)<0，根据不等式的性质知这个不等式等价于(x－2)·<0，方程(x－2)＝0的两个根是2，.当0<a<时，2<，不等式的解集是，当a＝时，不等式的解集是∅，当a>时，<2，不等式的解集是.综上所述，当0<a<时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为∅；当a>时，不等式的解集为. 1.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．71\n一元二次不等式恒成立问题设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)．(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解析： (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，由m≠0，得⇒－4＜m＜0.所以－4＜m<0.(2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜；当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以，m的取值范围是.1．(2022·河南郑州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，求a的最小值．解析： 法一：由于x＞0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈71\n时，max＝－，∴a≥－，故a的最小值为－.法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.(1)若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f≥0，从而－≤a≤－1.(2)若－＜0，即a＞0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1＞0恒成立，故a＞0.(3)若0≤－＜，即－1＜a≤0时，则应有f＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1＜a≤0.综上可知a≥－，故a的最小值为－.2.求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．解析： 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.故x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．3．(2022·广东湛江检测)设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调函数，且f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，求t的取值范围．解析： ∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－1，∴f(1)＝－f(－1)＝1.又∵f(x)在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f(x)≤1，∴当a∈[－1,1]时，t2－2at＋1≥1恒成立，即t2－2at≥0恒成立．令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，∴71\n解得t≥2或t＝0或t≤－2.t的取值范围为t≥2或t＝0或t≤－2. 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．一元二次不等式的应用某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？解析： 依题意得G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝R(x)－G(x)，所以f(x)＝(1)要使工厂有盈利，则有f(x)＞0，因为f(x)＞0⇔或⇒或5＜x＜8.2⇒或5＜x＜8.2⇒1＜x≤5或5＜x＜8.2⇒1＜x＜8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.而当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2，所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x＝4时，＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．故此时每台产品的售价为240元．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B71\n在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解析： 假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为元．若能够保证选择A比选择B费用少，则＞1.5x(0＜x＜17)，整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少；上网5小时，公司A、B的费用一样． 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．A级 基础训练1．(2022·广东惠州模拟)不等式≥0的解集为( )A．[－2,1] B．(－2,1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析： ≥0⇔⇔－2＜x≤1.答案： B2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1C．－1 D．3解析： 由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.答案： A3．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )71\nA．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析： 由x＜＜x2可得即解得综合知x＜－1.答案： A4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的所有正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是( )A．[80,125) B．(80,125)C．(－∞，80) D．(125，＋∞)解析： 由5x2－a≤0，得－≤x≤，而5x2－a≤0的所有正整数解是1,2,3,4，∴4≤＜5，∴80≤a＜125.答案： A5．(2022·辽宁五校协作体联考)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为，则f(ex)＞0的解集为( )A．{x|x＜－ln2或x＞ln3} B．{x|ln2＜x＜ln3}C．{x|x＜ln3} D．{x|－ln2＜x＜ln3}解析： 由题意可知一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f(x)＞0的解集为，又∵f(ex)＞0，∴＜ex＜3，解得－ln2＜x＜ln3.答案： D6．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．解析： 不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2.答案： {x|0＜x＜2}7．(2022·重庆万州考前模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为____________．解析： 由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，所以x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故原不等式的解集为.71\n答案： 8．若关于x的不等式ax2－x＋2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解析： 依题意可知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，当a＝0时，－x≥0不恒成立，故a＝0舍去；当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，即f(x)＝ax2－x＋2a的图象不在x轴的下方，∴即解得a≥，即a的取值范围是.答案： 9．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解不等式qx2＋px＋1＞0.解析： 因为当y＜0时，有－＜x＜，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根．由根与系数的关系得解得所以不等式qx2＋px＋1＞0⇔－x2＋x＋1＞0⇔x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．10．已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.解析： (1)∵函数f(x)＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立，当a≠0时，则有∴0＜a≤1.综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)∵f(x)＝＝，∵a＞0，∴当x＝－1时，f(x)min＝，71\n由题意得，＝，∴a＝，∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0，解得－＜x＜，所以不等式的解集为.B级 能力提升1．对一切正整数n，不等式＞恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析： 由条件知只需＞max，而＝＜1.∵≥1，解得x∈(－∞，0)∪[1，＋∞)．答案： D2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．解析： 原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.答案： [－4,3]3．一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解析： (1)由题意知，月利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.由月利润不少于1300元，得－2x2＋130x－500≥1300.即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1300元．71\n(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－22＋，由题意知，x为正整数．故当x＝32或33时，y最大为1612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元．4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．解析： (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)(x－2)＞0.那么当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．71\n3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法确定二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，测试点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0,1)、(1,0)等点．2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(1)当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )71\n答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是( )A．(0,2) B．(－2,0)C．(0，－2) D．(2,0)解析： 将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是(0，－2)．答案： C3．(2022·湖北卷)若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是( )A．2 B．4C．7 D．8解析： 画出x，y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u＝2x＋y，则y＝－2x＋u，先画出直线y＝－2x，再平移直线y＝－2x，当经过点A(3,1)时，代入u，可得最大值为7，故选C．答案： C4．已知实数x，y满足则此不等式组表示的平面区域的面积是________．解析： 作出可行域为如图所示的三角形，∴S△＝×1×1＝.答案： 5．若x，y满足约束条件，则z＝x－y的最大值是________．解析： 作出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z＝x－y过点A(1,1)时，目标函数z＝x－y取得最大值0.71\n答案： 0二元一次不等式(组)表示的平面区域1．若关于x，y的不等式组所表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(－1,1) D．(1，＋∞)解析： y＝ax为过原点的直线，当a≥0时，若能构成三角形，则需0≤a＜1；当a＜0时，若能构成三角形，则需－1＜a＜0，综上a∈(－1,1)．答案： C2．(2022·安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为________．解析： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.答案： 4 1.作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线不过原点，测试点常选取原点．2．求平面区域的面积，要先确定区域，若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解．求线性目标函数的最值71\n(1)(2022·辽宁卷)已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．(2)(2022·湖南卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.解析： (1)画出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分．由得∴点A的坐标为(2,3)．作直线l0：3x＋4y＝0，可知当平移l0到l(l过点A)时，目标函数有最大值，此时zmax＝3×2＋4×3＝18.(2)由题意知当z＝2x＋y过(k，k)时z＝2x＋y有最小值，将(k，k)代入z＝2x＋y，∴3k＝－6，∴k＝－2.答案： (1)18 (2)－21．(2022·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )A．10 B．8C．3 D．2解析： 作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.答案： B71\n2．(2022·北京卷)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )A．2 B．－2C． D．－解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，当k>0时，z＝y－x无最小值，所以k<0，当k＝－2时可行域内为点(0,2)，不合题意．∴k＝－，故选D．答案： D3．(2022·浙江卷)若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．解析： 画出约束条件所确定的可行域(如图中阴影部分所示)．令z＝x＋y，则y＝－x＋z，画出直线l：y＝－x，平移直线l，当l经过可行域中的点A(1,0)时，z取最小值，且zmin＝1＋0＝1；当l经过可行域中的点B(2,1)时，z取最大值，且zmax＝2＋1＝3，故x＋y的取值范围是[1,3]．答案： [1,3]4．若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．解析： 画出可行域，如图中阴影部分所示，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，其纵截距为－z，当z最小时，－z最大．依题意，有－＜a＜.71\n答案： 5．(2022·课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是( )A．p2，p3 B．p1，p2C．p1，p4 D．p1，p3解析： 画出可行域如图阴影部分所示．作直线l0：y＝－x，平移l0，当直线经过A(2，－1)时，x＋2y取最小值，此时(x＋2y)min＝0.故p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2为真，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2为真．故选B．答案： B6．(2022·浙江卷)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解析： 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.71\n答案： 线性目标函数最值问题的解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．求非线性目标函数的最值(1)(2022·福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )A．5 B．29B．37 D．49(2)实数x，y满足不等式组求z＝的取值范围．解析： (1)平面区域Ω，如图中阴影部分所示，∵圆C与x轴相切，∴b＝1，把y＝1分别代入x－y＋3＝0和x＋y－7＝0，得x＝－2和x＝6，∴－2≤a≤6，∴(a2)max＝36，∴(a2＋b2)max＝36＋1＝37，故选C．(2)作出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分．z＝＝，所以z的几何意义是动点(x，y)与定点A(－1,1)所连直线的斜率．结合图可知，z的最小值为直线l1的斜率，z的最大值无限接近于直线l2的斜率值．l1的斜率k1＝kAB，l2与直线x－y71\n＝0平行．由得点B的坐标为(1,0)，k1＝－.∴z∈.答案： (1)C变量x，y满足(1)设z＝，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解析： 由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．由解得A.由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．(1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29. 常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；71\n(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．实际生活中的线性规划问题(2022·北京丰台第一学期期末练习)小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析： 设买科普书x本与文具y套，总数为z＝x＋y，由题意可得作出可行域如图中阴影部分，将z＝x＋y转化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18,19)，此时z最大为37.答案： 37某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A．12万元 B．20万元C．25万元 D．27万元解析： 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，该企业获得的利润为z万元，则由题目可获得如下信息：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y所以目标函数为z＝5x＋3y，作出可行域后如图所示：由得A(3,4)，71\n当直线z＝5x＋3y过点A(3,4)时，z取到最大值，故zmax＝15＋12＝27，故选D．答案： D 线性规划应用题的求解应注意(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．A级 基础训练1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析： 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.答案： B2．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )A．0个 B．1个C．2个 D．无数个解析： 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案： B3．(2022·广东卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )A．5 B．6C．7 D．8解析： 71\n作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由⇒，则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由⇒，由n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.答案： B4．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )A．4 B．3C．4 D．3解析： z＝·＝x＋y，目标函数的可行域如图所示，z取最大值的最优解为(，2)，所以zmax＝×＋2＝4.答案： C5．(2022·安徽卷)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A．或－1 B．2或C．2或1 D．2或－1解析： 画出x，y约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z＝y－ax得y＝ax＋z.当直线y＝ax与直线2x－y＋2＝0或直线x＋y－2＝0平行时，符合题意，则a＝2或－1.答案： D71\n6．不等式组表示的区域为D，z＝x＋y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为______；z的最大值为________．解析： 图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3时，有zmax＝5.答案： 57．(2022·辽宁省五校联考)已知z＝2x＋y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是________．解析： 根据题中所给的约束条件所得的可行域如图．根据y＝－2x＋z可知z的几何含义为直线在y轴上的截距，显然y＝－2x＋z在点(1,1)和(m，m)处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m，故3＝4·3m，解得m＝.答案： 8．(2022·广东十二校第二次联考)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A(，0)，则z＝||的最大值为________．解析： 根据线性规划的知识，画出可行域如图所示．因为z的最大值即为可行域内的点到点A的距离的最大值，该点应为可行域中的点B(2,0)，所以zmax＝＝.答案： 9．已知关于x，y的二元一次不等式组求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．71\n解析： 作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，解方程组得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.10．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解析： (1)法一：∵＋＋＝0，＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2,2)，故||＝2.法二：∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.(2)∵＝m＋n，71\n∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.B级 能力提升1．(2022·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )A．－5 B．3C．－5或3 D．5或－3解析： 当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．71\n答案： B2．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x＋6y最大值的变化范围是[20,22]，则t的取值范围是________．解析： 由约束条件确定的可行域如图，当目标函数过点A时取得最大值，由，解得A，所以20≤9×＋6×≤22，解得4≤t≤6.答案： [4,6]3．若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解析： (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.∴z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4,2)．4．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克，甲种饮料每杯能获利润0.7元，乙种饮料每杯能获利润1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？解析： 设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元．71\n由条件知：z＝0.7x＋1.2y，变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示．作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，z＝0.7x＋1.2y取最大值．由方程组得A点坐标(200,240)．即应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．71\n第四节 基本不等式1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：≤.(1)基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1．活用几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )71\n(2)ab≤2成立的条件是ab＞0.( )(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )(4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )A． B．C． D．解析： 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．答案： B3．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2C．＋＞ D．＋≥2解析： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误．对于D，∵ab＞0，∴＋≥2＝2.答案： D4．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析： 由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．答案： 2 5．若x＞1，则x＋的最小值为________．解析： ∵x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.71\n当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案： 5利用基本不等式证明不等式1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明： 由a，b，c，d都是正数，得≥(当且仅当ab＝cd时，等号成立)，≥(当且仅当ac＝bd时，等号成立)，所以≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd(当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立)．2．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号． 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．利用基本不等式求最值(1)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋ B．1＋71\nC．3 D．4(2)设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为________．(3)(2022·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2 B．7＋2B．6＋4 D．7＋4解析： (1)因为x＞2，所以x－2＞0，则f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.(3)log4(3a＋4b)＝log2，即log2＝log2，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4.答案： (1)C (2) (3)D1.＋a的取值范围为________．解析： 显然a≠2，当a＞2时，a－2＞0.∴＋a＝＋(a－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝a－2，即a＝4时取等号．当a＜2时，a－2＜0，71\n∴＋a＝＋(a－2)＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2.当且仅当a＝0时取等号．∴取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．答案： (－∞，－2]∪[6，＋∞)2．(2022·北京房山期末统考)设a＞0，b＞0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为( )A．8 B．4C．1 D．解析： 由题意可知3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.因为a＞0，b＞0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．答案： A3．函数y＝(x＞1)的最小值是( )A．2＋2 B．2－2C．2 D．2解析： ∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．答案： A4．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny71\n－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．解析： 利用基本不等式求解．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，代入直线mx＋ny－2＝0得m＋n＝2.所以＋＝＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号，故＋的最小值是2.答案： 25．(2022·广东广州二模)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )A．4 B．4C．9 D．16解析： 由＋＝1得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案： D6．(2022·江西南昌检测)若对满足条件x＋y＋8＝xy的正实数x，y都有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．解析： ∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋8＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，解得x＋y≥8，所以问题转化为当x＋y≥8时(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，即a≤(x＋y)＋.令x＋y＝t，则f(t)＝t＋在[8，＋∞)上单调递增，故f(t)min＝f(8)＝8＋＝，∴a≤.答案： 利用基本不等式求最值的常见类型(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．71\n[提醒] 若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．利用基本不等式解决实际问题某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C(x)(单位：万元)，当年产量不足80万件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80万件时，C(x)＝51x＋－1450.通过市场分析，若每万件售价为50万元，则该厂当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解析： (1)当0≤x<80时，L(x)＝50x－－250＝－x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝50x－－250＝1200－x－，所以L(x)＝(2)当0≤x<80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，此时L(x)max＝L(60)＝950；当x≥80时，L(x)＝1200－x－≤1200－2＝1200－200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立，此时L(x)max＝L(100)＝1000.综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元．某化工企业2022年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．71\n解析： (1)由题意得，y＝，即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．(2)由基本不等式得：y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值．A级 基础训练1．(2022·青岛二模)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析： 当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件．答案： B2．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是( )A．15 B．6C．60 D．1解析： ∵x＞0，y＞0，∴＋＝1≥2，∴xy≥60，当且仅当3x＝5y时等号成立．答案： C71\n3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )A． B．C．2 D．解析： 由x＞0，y＞0知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，故选C．答案： C4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是( )A．2 B．4C．6 D．8解析： (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.答案： B5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )A．4 B．C．8 D．9解析： ∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，71\n当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D．答案： D6．当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．解析： ∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案： 17．(2022·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析： 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10(2x＋)＝80＋20(x＋)≥80＋20×2＝160(当且仅当x＝，即x＝2时取等号)．所以该容器的最低总造价为160元．答案： 1608．(2022·江苏四市教学调查(一))已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．解析： 由已知得＝1，则＝＋＝＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．答案： 99．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c，71\n＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值．解析： (1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋＝≥＝2.∴min＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．故z最小值为2.B级 能力提升1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A．0 B．C．2 D．解析： ＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y271\n＝－2(y－1)2＋2≤2.答案： C2．当x2－2x＜8时，函数y＝的最小值是________．解析： 由x2－2x＜8得x2－2x－8＜0，即(x－4)(x＋2)＜0，得－2＜x＜4，∴x＋2＞0，而y＝＝＝(x＋2)＋－5≥2－5＝－3.等号当且仅当x＝－1时取得．答案： －33．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解析： 由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.4．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．71\n(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解析： (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝＋1800×6＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90＝＋9x＋9729(x≥35)．令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0，故f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数．则当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2＜10989.因此该厂应接受此优惠条件．第五节 合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．71\n2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异．1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．(3)模式：三段论1．归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：→→(2)类比推理的一般步骤：→→2．合情推理的理解(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．71\n1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )答案： (1)× (2)√ (3)× (4)√2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27解析： 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.答案： B3．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④解析： ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②④为合情推理．答案： C4．∵a＝(1,0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0.∴a⊥b.大前提：________________；小前提：________________；结论：__________________.答案： 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 a·b＝0 a⊥b5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析： ＝＝·＝×＝.71\n答案： 1∶8归纳推理(1)(2022·陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．(2)(2022·陕西卷)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．解析： (1)∵5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2，归纳：F＋V－E＝2.(2)f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，归纳法得f2014(x)＝.答案： (1)F＋V－E＝2 (2)f2014(x)＝1．(2022·陕西卷)观察下列等式12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．解析： 观察等式可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.71\n答案： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析： 最上面是1个，以下每层比上一层多一个，第n层有n个，第n个图形共有1＋2＋…＋n＝n(n＋1)．答案： n(n＋1) 归纳推理的分类：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．类比推理如图所示，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比＝·.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为________________．解析： 试题的要求是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：＝··(证明略)．答案： ＝··已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(b≠0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.71\n解析： 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，故bm＋n＝.答案： 类比推理一般分为三类：(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．演绎推理数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n∈N＋)，用三段论的形式证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明： (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴＝2·，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(大前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)71\n∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)已知函数f(x)＝－(a＞0且a≠1)．证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称．证明： 函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知得y＝－，则－1－y＝－1＋＝－，f(1－x)＝－＝－＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点对称． 演绎推理的论证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．A级 基础训练1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错71\nC．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错解析： 当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数．故大前提错误．答案： A2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“＝”类比得到“＝”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析： ①②正确，③④⑤⑥错误．答案： B3．下列推理是归纳推理的是( )A．由于f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，推断f(x)＝xcosx为奇函数B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列{an}的前n项和的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1的面积S＝πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析： A是演绎推理，C、D为类比推理，只有B，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．答案： B4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199解析： 从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得a10＋b10＝123.71\n答案： C5．(2022·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析： 依题意，把“整数对”的和相同的分成一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B．答案： B6．数列，，2，，…的一个通项公式是________．解析： 因为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝.答案： an＝7．如图所示的“三角形”数列，前4个图形对应的数分别为1,3,6,10，则第7个图形对应的数是________．解析： 由前4个数1,3,6,10可知数列{an}满足an＝an－1＋n，由归纳推理可知∴a5＝a4＋5＝10＋5＝15，a6＝a5＋6＝15＋6＝21，a7＝a6＋7＝21＋7＝28.答案： 288．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析： 由题意知，凸函数满足≤f，71\nsinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.答案： 9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析： 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10．观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2014是第几行的第几个数？解析： (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024＜2014＜2048，∴2014在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2014－1024＋1＝991，知2014是第11行的第991个数．B级 能力提升71\n1．[]表示不超过的最大整数．若S1＝[]＋[]＋[]＝3，S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，…则Sn＝( )A．n(n＋2) B．n(n＋3)C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1)解析： 观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n＋1个n的和，所以Sn为n(2n＋1)，即[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)．答案： D2．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且其法向量为n＝(1，－2)的直线方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系O－xyz中，经过点A(1,2,3)，且其法向量为n＝(－1，－2,1)的平面方程为________．解析： 设P(x，y，z)为空间内任意一点，则类比上述结论可得·n＝(x－1，y－2，z－3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x＋2y－z－2＝0.答案： x＋2y－z－2＝03．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．证明： ∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞，∴A＞－B，∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA＞sin＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.71\n(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析： 法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.第六节 直接证明和间接证明71\n1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点．1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明——反证法反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．综合法证题的一般规律：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．2．分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．3．反证法证题的一般规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A．即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )71\n(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )(6)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√2．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析： 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．答案： D3．(2022·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析： 因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案： A4．(2022·山西太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．解析： “x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案： x≠－1且x≠15．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析： 由余弦定理cosA＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案： a2＞b2＋c2综合法71\n1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．证明： 由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．2．(2022·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．解析： (1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)证明： 要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m＞n，所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．分析法已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.证明： a⊥b⇔a·b＝0，要证≤，只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明： ∵m＞0，∴1＋m＞0.71\n所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证． 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．反证法等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析： (1)由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明： 由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．1．设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解析： (1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①71\nqSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．2．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明： 假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－.求证：a≠0且＜2.证明： 假设a＝0或≥2.(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0.由题意，得f(x)＝bx在[－1,1]上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.71\n(2)当≥2时，由二次函数的对称轴为直线x＝－，知f(x)在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以或又a＋c＝0，则此时b无解，所以＜2.由(1)(2)，得a≠0且＜2. 反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)A级 基础训练1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．答案： B2．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”假设内容应是( )A．＝B．＜C．＝且＜D．＝或＜解析： 假设结论不成立，即＞的否定为≤.答案： D3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是( )71\nA．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析： 由题意知＜a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)＜3a2⇐b2＋a2＋ab＜3a2⇐b2＋ab＜2a2⇐2a2－ab－b2＞0⇐a2－ab＋a2－b2＞0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)＞0⇐a(a－b)－c(a－b)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0，故选C．答案： C4．设x、y、z＞0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数( )A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析： 假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c＜6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a、b、c中至少有一个不小于2.答案： C5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负解析： 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A．答案： A6．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析： a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜.∴a＜b.答案： a＜b7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析： “至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．71\n答案： a，b中没有一个能被5整除8．(2022·福建福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．解析： ∵a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案： a≥0，b≥0且a≠b9．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.证明： 要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证＜，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.证明： 假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b＞a，b＞c.∴＞，＞，相加得＋＞＋＝，这与＋＝矛盾．故∠B≥90°不成立．因此∠B＜90°.B级 能力提升1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析： 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，由得71\n那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．所以△A2B2C2是钝角三角形．答案： D2．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析： 由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.答案： cn＋1＜cn3．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2＜b.解析： (1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n＝－2n＜0，所以bn·bn＋2＜b.4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析： (1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，71\n∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝，∴x2＝，∴是f(x)＝0的一个根．(2)假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c.又∵≠c，∴＞c.(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.71
