专题能力训练19 概率一、能力突破训练1.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.B.C.D.答案：C解析：密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为.故选C.2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.B.C.D.答案：B解析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=,故选B.3.(2022天津,文3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.B.C.D.答案：C解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)==.故选C.4.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( )A.B.C.D.答案：C解析：设AC=xcm,0<x<12,则CB=(12-x)cm,要使矩形面积大于20cm2,只要x(12-x)>20,则x2-12x+20<0,解得2<x<10,所求概率为P==.5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是( )A.1-B.-1C.2-D.答案：A解析：由题设,S扇形ADE=S扇形CBF=×12=.又S矩形ABCD=2×1=2,∴该地点无信号的区域面积S=S矩形ABCD-2×=2-,因此所求事件的概率P===1-.6.(2022江苏,7)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D5\n的概率是 . 答案：解析：由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P==,答案：为.7.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(-1,1)垂直的概率为 . 答案：解析：所有的(a,b)可能取值有12个,由向量m与向量n垂直,得m·n=0,即a=b.故满足向量m与向量n垂直的(a,b)共有2个:(3,3),(5,5),则所求概率为=.8.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 . 答案：0.96解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.9.为了考察某厂2000名工人的生产技能情况,随机抽查了该厂n名工人某天的产量(单位:件),整理后得到如下的频率分布直方图(产量的区间分别为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]),其中产量在[20,25)的工人有6名.(1)求这一天产量不小于25的工人数;(2)该厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训,求这两名工人不在同一分组的概率.解(1)由题意得产量为[20,25)的频率为0.06×5=0.3,所以n==20,所以这一天产量不小于25的工人数为(0.05+0.03)×5×20=8.(2)由题意得,产量在[10,15)的工人数为20×0.02×5=2,记他们分别是A,B,产量在[15,20)的工人数为20×0.04×5=4,记他们分别是a,b,c,d,则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有15种不同结果.其中2名工人不在同一组的为(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),有8种,故所求概率为P=.10.某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 商品顾客人数 甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××5\n98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.11.某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的A,B两个小组所有同学所得分数(单位:分,百分制)的茎叶图如图,其中B组一同学的分数已被污损,但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分.(1)若在B组学生中随机挑选1人,求其得分超过85分的概率;(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学,设其分数分别为m,n,求|m-n|≤8的概率.解(1)A组学生的平均分为=85(分),∴B组学生平均分为86分,设被污损的数为x,由=86,∴x=8,则B组学生的分数分别为93,91,88,83,75,故在B组学生随机选1人所得分超过85分的概率P=.(2)A组学生的分数分别是94,88,86,80,77,在A组学生中随机抽取2名同学,其分数组成的基本事件(m,n)有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77),共10个,随机抽取2名同学的分数m,n满足|m-n|≤8的事件有(94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77),共6个.故学生得分m,n满足|m-n|≤8的概率P==.二、思维提升训练12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.B.C.D.答案：B解析：1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;满足两球颜色为一白一黑的有6种,概率等于=.5\n13.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.答案：D解析：记事件A:甲或乙被录用.从5人中录用3人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,∴A的对立事件的概率为P()=,故P(A)=1-P()=.14.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 . 答案：解析：作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=×22=2.由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P==.15.某校高二(1)班参加校数学竞赛,学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求高二(1)班参加校数学竞赛人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在[90,100]之间的概率.解(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,所以高二(1)班参加校数学竞赛人数为=25.所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.(2)设至少有一人分数在[90,100]之间为事件A.将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2人编号为5,6.在[80,100]之间任取两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个.5\n根据古典概型概率计算公式,得P(A)==.5
