4.6正弦、余弦定理解斜三角形一、明确复习目标掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。二．建构知识网络1．三角形根本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos=sin,sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS=pr=(其中p=,r为内切圆半径)（3）射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA2．正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,；证明：如图ΔABC中，13/13\n当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有解；a<bsinA时无解。5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力三、双基题目练练手1．(2022山东)在中，角的对边分别为，已知，那么（）A.1B.2C.D.13/13\n2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，那么边AC上的高为（）A.B.C.D.3．（2022年上海）在△ABC中，假设2cosBsinA=sinC，那么△ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.(2022全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A.B.C.D.5.（2022全国Ⅱ）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，那么边BC上的中线AD的长为_________.6.(2022春上海)在△中，已知，三角形面积为12，那么.◆答案:1-4.BBCB;3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.4.组成边长6,7,7时面积最大;5.;6.四、经典例题做一做【例1】(2022天津)如图，在中，，，．13/13\n（1）求的值；（2）求的值.解（Ⅰ）：由余弦定理，∴（Ⅱ）解：由，且得由正弦定理:解得。所以，。由倍角公式，且，故.◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ΔABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c．13/13\n解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．【例3】(2022上海)如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度准确到）？[解]连接BC,由余弦定理得_10_A_?_20_C_BBC2=202+102－2×20×10COS120°=700于是,BC=1030°∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援思路点拨13/13\n:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有成立，求△ABC面积S的最大值．解：由已知条件得．即有，又 ∴．∴当时,．◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．【研讨.欣赏】13/13\n（2022江西）如图,已知△是边长为的正三角形,、分别是边、上的点,线段经过△的中心.设.(1)试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数;(2)求的最大值与最小值.解:(1)因为为边长为的正三角形的中心,所以由正弦定理因为,所以当时,的最大值;当时,的最小值.13/13\n五．提炼总结以为师1．掌握三角形中的的根本公式和正余弦定理；2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4．边角互化是解三角形的重要手段．同步练习4.6正弦、余弦定理解斜三角形【选择题】1.（2022浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（2022全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于()A.B.1+C.D.2+3..以下条件中，△ABC是锐角三角形的是()13/13\nA.sinA+cosA=B.·＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°4.(2022全国Ⅰ)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且，那么()A.B.C.D.【填空题】5.（2022春上海）在中，分别是、、所对的边。假设，，，那么__________6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，那么边长c的取值范围是_______.练习简答：1-4.BBCB;1.在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答案：B2.2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.由S=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得cosB====，解得b=1+.答案：B3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C5.2;6.假设c最大，由cosC＞0.得c＜.又c＞b－a=1，∴1＜c＜.【解答题】7.（2022春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.13/13\n剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.（2022春北京）在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.解法一：∵sinA+cosA=cos（A－45°）=，∴cos（A－45°）=.又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.∴tanA=tan（45°+60°）==－2－.13/13\n∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.∴S△ABC=AC·ABsinA=·2·3·=（+）.解法二：∵sinA+cosA=，①∴（sinA+cosA）2=.∴2sinAcosA=－.∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=，∴sinA－cosA=.②①+②得sinA=.①－②得cosA=.∴tanA==·=－2－.（以下同解法一）9.（2022全国Ⅱ）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.13/13\n剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，∴=2.∴tanA=2tanB.（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，那么AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.评述：此题主要考察三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.10.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答此题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以13/13\n,化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的根本功，变形的方向是关键.假设考虑三内角的关系，此题可以从已知条件推出cosA=0.【探索题】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.（1）假设任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.解：（1）∵y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.（2）∵cos（B－C）≤1，∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.故当A=B=C=时，ymin=.评述：此题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的外表不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC来证.13/13
