【解析分类汇编系列六：北京2022（二模）数学文】7：立体几何一、选择题．（2022北京昌平二模数学文科试题及答案）已知四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是主视图3322侧视图俯视图（ ）A．B．C．D．D由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边为3与2，所以后面的三角形的高为。右面三角形是直角三角形，直角边长为：2，2，三角形的面积为。前面三角形是直角三角形，直角边长为：其面积为。前左面也是直角三角形，直角边长为，三角形的面积为。所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为，选D.．（2022北京东城高三二模数学文科）已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4D-14-\n由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．．（2022北京房山二模数学文科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．A视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。所以几何体的表面积为，选A.．（2022北京朝阳二模数学文科试题）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．-14-\n1正视图1侧视图俯视图1A由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其中高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为，所以三棱锥的体积为，选A.．（2022北京丰台二模数学文科试题及答案）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A．24B．20+4C．28D．24+4B-14-\n由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为，.选B．．（2022北京海淀二模数学文科试题及答案）某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．B由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。上部分为四棱锥。四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为，选B.二、填空题．（2022北京顺义二模数学文科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为,则.俯视图h452正（主）视图侧（左）视图4由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：，即，解得。三、解答题．（2022北京丰台二模数学文科试题及答案）-14-\n如图,多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE,,,M为BE中点.(Ⅰ)求证:DM//平面ABC;(Ⅱ)求证:平面BDE平面BCD.解:(Ⅰ)设N为BC中点,连结MN,AN,M为BE中点,MN//EC,且MN=EC,AD//EC,且AD=EC,四边形ANMD为平行四边形,AN//DMDM平面ABC,AN平面ABC,DM//平面ABC;(Ⅱ),,平面ACED,平面ACED,DE,∵DEDC,又BC,,DE平面BCD-14-\n平面BDE,平面BDE平面BCD．（2022北京房山二模数学文科试题及答案）如图,是正方形,平面,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求四面体的体积.(Ⅰ)证明:因为平面,所以因为是正方形,所以,因为所以平面(Ⅱ)证明:设,取中点,连结,所以,因为,,所以,从而四边形是平行四边形,因为平面,平面,所以平面,即平面(Ⅲ)解:因为平面所以因为正方形中,,所以平面因为,,所以的面积为,-14-\n所以四面体的体积．（2022北京东城高三二模数学文科）如图,△是等边三角形,,,,,分别是,,的中点,将△沿折叠到△的位置,使得.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求证:平面.(共14分)证明:(Ⅰ)因为,分别是,的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.同理平面.又因为,所以平面平面.(Ⅱ)因为,所以.又因为,且,所以平面.因为平面,所以.因为△是等边三角形,,不防设,则,可得.由勾股定理的逆定理,可得.-14-\n因为,所以平面．（2022北京朝阳二模数学文科试题）如图,已知四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.BDCFGHAEPAEBDCPFGHM(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以.又因为平面,平面,-14-\n所以平面(Ⅱ)因为平面,所以.又因为,,所以平面.由已知,分别为线段,的中点,所以.则平面.而平面,所以平面平面(Ⅲ)在线段上存在一点,使平面.证明如下:在直角三角形中,因为,,所以.在直角梯形中,因为,,所以,所以.又因为为的中点,所以.要使平面,只需使.因为平面,所以,又因为,,所以平面,而平面,所以.若,则∽,可得.由已知可求得,,,所以．（2022北京海淀二模数学文科试题及答案）如图1,在直角梯形中,AD//BC,=900,BA=BC.把ΔBAC沿折起到的位置,使得点在平面ADC上的正投影恰好落在线段上,如图2所示,点分别为线段PC,CD的中点.(I)求证:平面OEF//平面APD;(II)求直线CD⊥与平面POF;(III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由.-14-\n解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上所以平面,所以因为,所以是中点,所以同理又所以平面平面(II)因为,所以又平面,平面所以又所以平面(III)存在,事实上记点为即可因为平面,平面所以又为中点,所以同理,在直角三角形中,,所以点到四个点的距离相等．（2022北京顺义二模数学文科试题及答案）如图,四棱柱中,是上的点且为中边上的高.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.(Ⅰ)证明:,且平面PCD,平面PCD,所以平面PDC(Ⅱ)证明:因为AB平面PAD,且PH平面PAD,所以又PH为中AD边上的高,所以又所以平面而平面所以(Ⅲ)解:线段上存在点,使平面理由如下:如图,分别取的中点G、E-14-\n则由所以所以为平行四边形,故因为AB平面PAD,所以因此,因为为的中点,且所以因此又所以平面．（2022北京昌平二模数学文科试题及答案）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求三棱锥的体积;(Ⅲ)在线段上是否存在点使得?说明理由.-14-\n(Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点,为中点.∴在中,//且平面,平面∴(Ⅱ)解:如图,取的中点,连结.∵,∴.∵侧面底面,,∴.又所以是等腰直角三角形,且在正方形中,(III)存在点满足条件,理由如下:设点为中点,连接由为的中点,所以//,由(I)得//,且所以.∵侧面底面,,所以,.所以,的中点为满足条件的点．（2022北京西城高三二模数学文科）如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(Ⅰ)求四面体的体积;(Ⅱ)证明:∥平面;(Ⅲ)证明:平面平面.-14-\n(Ⅰ)解:由左视图可得为的中点,所以△的面积为因为平面,所以四面体的体积为(Ⅱ)证明:取中点,连结,由正(主)视图可得为的中点,所以∥,又因为∥,,所以∥,.所以四边形为平行四边形,所以∥因为平面,平面,所以直线∥平面(Ⅲ)证明:因为平面,所以.因为面为正方形,所以.所以平面因为平面,所以.因为,为中点,所以.所以平面因为∥,所以平面-14-\n因为平面,所以平面平面-14-
