第二章第九节函数与方程题组一函数零点的判定1.假设函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，那么f(－2)·f(2)的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析：假设函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，那么该零点是变号零点，那么f(－2)f(2)<0.假设不是变号零点，那么f(－2)f(2)>0.答案：D2.设f(x)＝3x－x2，那么在以下区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点.答案：D3.(2022·苏北三市联考)假设方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，那么不小于x0的小整数是 .解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，那么f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0∴4＜x0＜5∴不小于x0的最小整数是5.答案：5题组二函数零点的求法4.(2022·福建高考)假设函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，那么f(x)可以是( )A.f(x)＝4x－1B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex－1D.f(x)＝ln(x－)解析：∵4个选项中的零点是确定的.A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，4/4\ng()＝＋2×－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，)之间.从而选A.答案：A5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，那么方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.2解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.答案：B6.设函数f(x)＝那么函数F(x)＝f(x)－的零点是 .解析：当x≥1时，f(x)－＝2x－2－＝2x－＝0，∴x＝.当x＜1时，x2－2x－＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝＝，又∵x＜1，∴x＝.∴函数F(x)＝f(x)－有两个零点和.答案：，题组三函数零点的应用7.假设二次函数y＝ax2＋bx＋c中a·c<0，那么函数的零点个数是( )A.1个B.2个C.0个D.不确定解析：∵c＝f(0)，∴ac＝a·f(0)<0.∴a与f(0)异号，即∴函数必有两个零点.答案：B8.已知函数f(x)＝x|x－4|－5，那么当方程f(x)＝a有三个根时，实数a的取值范围是 4/4\n.A.－5＜a＜－1B.－5≤a≤－1C.a＜－5D.a＞－1解析：f(x)＝x|x－4|－5＝在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y＝a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是－5<a<－1.答案：A9.(2022·山东高考)假设函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，那么实数a的取值范围是 .解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.答案：(1，＋∞)10.已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)假设＜t＜，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，)内各有一个实数根.解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根.(2)当＜t＜时，因为f(－1)＝3－4t＝4(－t)＞0，f(0)＝1－2t＝2(－t)＜0，f()＝＋(2t－1)＋1－2t＝－t＞0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，)内各有一个实数根.11.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围.解：假设a＝0，那么f(x)＝2x－3显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝.4/4\n①当a＝时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；而a＝时，经检验不符合要求.②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0时，得1≤a≤5，因当a＝5时，方程f(x)＝0在[－1,1]上有两个相异实根，故1≤a＜5时，y＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点；③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，那么解得a≥5或a＜.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤}.4/4
