星期三 (函数与导数) 2022年____月____日函数与导数知识(命题意图：考查函数的单调性与极值，考查不等式恒成立下的参数范围的求解.)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝.(1)当k＝e时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数k的值.解 (1)注意到函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，h(x)＝lnx－(x>0)，当k＝e时，h′(x)＝－＝，若0<x<e，则h′(x)<0；若x>e，则h′(x)>0.所以h(x)是(0，e)上的减函数，是(e，＋∞)上的增函数，故h(x)极小值＝h(e)＝2－e，故函数h(x)的减区间为(0，e)，增区间为(e，＋∞)，极小值为2－e，无极大值.(2)由(1)知h′(x)＝－＝，当k≤0时，h′(x)>0对x>0恒成立，所以h(x)是(0，＋∞)上的增函数，注意到h(1)＝0，所以0<x<1时，h(x)<0，不合题意.当k>0时，若0<x<k，h′(x)<0；若x>k，h′(x)>0.所以h(x)是(0，k)上的减函数，是(k，＋∞)上的增函数，故只需h(x)min＝h(k)＝lnk－k＋1≥0.令μ(x)＝lnx－x＋1(x>0)，μ′(x)＝－1＝，当0<x<1时，μ′(x)>0；当x>1时，μ′(x)<0.所以μ(x)是(0，1)上的增函数，是(1，＋∞)上的减函数.故μ(x)≤μ(1)＝0当且仅当x＝1时等号成立.所以当且仅当k＝1时，h(x)≥0成立，即k＝1为所求.1
