星期五 (选修4－1、4－4、4－5) 2022年____月____日(请同学从下面所给的三个模块中选定一个模块作答.)1.选修4－1：几何证明选讲(命题意图：考查平面几何中圆的切线性质以及三角形相似等，考查学生对平面几何的推理能力.)如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点.(1)求证：AD∥OC；(2)若圆O的半径为2，求AD·OC的值.(1)证明 连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC，又AB为直径，∴AD⊥DB，AD∥OC.(2)解 由AD∥OC，∴∠DAB＝∠COB，∴Rt△BAD∽Rt△COB，＝，AD·OC＝AB·OB＝8.2.选修4－4：坐标系与参数方程(命题意图：考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，平面内点到直线的距离等.)已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围.解 (1)直线l的普通方程为：x－y＋3＝0，曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设点P(2＋2cosθ，2sinθ)(θ∈R)，则d＝2\n＝，所以d的取值范围是.3.选修4－5：不等式选讲(命题意图：考查不等式的证明，考查学生的推理论证能力.)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明 (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，因为a，b都是正数，所以a＋b＞0，又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，于是(a＋b)(a－b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2≥0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c).由a，b，c都是正数，得a＋b＋c＞0，因此≥abc.2
