第3讲 平面向量一、选择题1.(2022·全国Ⅱ卷)已知a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A.－1B.0C.1D.2解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.答案 C2.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A.－B.0C.3D.解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.答案 C3.(2022·四川卷)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )A.2B.3C.4D.6解析 a＝(2，4)，b＝(x，6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.答案 B4.(2022·太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为( )A.B.C.D.解析 因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案 A5.(2022·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )5\nA.－B.－C.D.解析 c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，∵b⊥c，∴b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，∴k＝－，故选A.答案 A二、填空题6.(2022·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析 由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则，解得，故m－n＝－3.答案 －37.(2022·郑州模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由＝2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 ·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.答案 38.(2022·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析 ∵△ABC为边长是2的等边三角形，∴||＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又＝－＝2a＋b－2a＝b，∴b∥，故④正确；又(＋)·(－)＝5\n2－2＝0，∴(＋)⊥，即(4a＋b)⊥，故⑤正确.答案 ①④⑤三、解答题9.(2022·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解 (1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二 由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.5\n所以△ABC的面积为S＝absinC＝.10.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解 (1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.11.(2022·日照模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cosB＋sinB，2sinB－2)，q＝(sinB－cosB，1＋sinB)，且p⊥q.(1)求B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.解 (1)因为p⊥q，所以p·q＝(cosB＋sinB)(sinB－cosB)＋(2sinB－2)(1＋sinB)＝0，5\n即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，即sin2B＝，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sinB＝，所以B＝60°.(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，所以S△ABC＝acsinB，即ac＝4.①由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝2，所以a2＋c2＝8，②联立①②，解得a＝c＝2.5
