[70分]8＋6标准练21．已知集合A＝，B＝，则集合A∩B等于( )A.B.C.D.答案 D解析 ∵A＝＝，∴A∩B＝.2．2022年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( )A.B.C.D.答案 C解析 分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3＝12，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为，，，，共4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为1－＝.3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sin2x＋7\ncos2x的图象，则φ的可能值为( )A．0B.C.D.答案 A解析 将函数y＝sin2x＋cos2x＝2sin的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin2x的图象，所以φ＝0.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2＋πB．1＋πC．2＋2πD．1＋2π答案 A解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成，则V＝1×1×2＋×π×12×2＝2＋π.5．如图所示的程序框图，当输出y＝15后，程序结束，则判断框内应该填( )7\nA．x≤1?B．x≤2?C．x≤3?D．x≤4?答案 C解析 当x＝－3时，y＝3；当x＝－2时，y＝0；当x＝－1时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝8；当x＝3时，y＝15，x＝4，结束．所以y的最大值为15，可知x≤3？符合题意．6．若x＝是函数f(x)＝(x2－2ax)ex的极值点，则函数f(x)的最小值为( )A．(2＋2)eB．0C．(2－2)eD．－e答案 C解析 ∵f(x)＝(x2－2ax)ex，∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex，由已知得，f′()＝0，∴2＋2－2a－2a＝0，解得a＝1，∴f(x)＝(x2－2x)ex，∴f′(x)＝(x2－2)ex，∴令f′(x)＝(x2－2)ex＝0，得x＝－或x＝，当x∈(－，)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－，)上是减函数，当x∈或x∈时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数．又当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x2－2x>0，f(x)>0，当x∈(0,2)时，x2－2x<0，f(x)<0，∴f(x)min在x∈(0,2)上，又当x∈时，函数f(x)单调递减，当x∈时，函数f(x)单调递增，∴f(x)min＝f＝e.7．点M(x，y)在曲线C：x2－4x＋y2－21＝0上运动，t＝x2＋y2＋12x－12y－150－a，且t的最大值为b，若a，b为正实数，则＋的最小值为( )A．1B．2C．3D．47\n答案 A解析 曲线C：x2－4x＋y2－21＝0可化为(x－2)2＋y2＝25，表示圆心为C(2,0)，半径为5的圆，t＝x2＋y2＋12x－12y－150－a＝(x＋6)2＋(y－6)2－222－a，(x＋6)2＋(y－6)2可以看作点M到点N(－6,6)的距离的平方，圆C上一点M到N的距离的最大值为|CN|＋5，即点M是直线CN与圆C距N较远的交点，所以直线CN的方程为y＝－(x－2)，联立解得或(舍去)，当时，t取得最大值，则tmax＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a＝b，所以a＋b＝3，所以(a＋1)＋b＝4，＋＝＝≥1，当且仅当＝，即时取等号．8．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且在R上单调递增，函数g(x)＝f(x－5)＋x，数列{an}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝45，则a1＋a2＋…＋a9等于( )A．45B．15C．10D．0答案 A解析 因为函数g(x)＝f(x－5)＋x，所以g(x)－5＝f(x－5)＋x－5，当x＝5时，g(5)－5＝f(5－5)＋5－5＝f(0)，而y＝f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以g(5)－5＝0.由g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝45，得[g(a1)－5]＋[g(a2)－5]＋…＋[g(a9)－5]＝0，由y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且在R上单调递增，可知y＝g(x)－5关于(5,0)对称，且在R上是单调递增函数，由对称性猜想g(a5)－5＝0，下面用反证法证明g(a5)－5＝0.7\n假设g(a5)－5<0，知a5<5，则a1＋a9<10，a2＋a8<10，…，由对称性可知[g(a1)－5]＋[g(a9)－5]<0，[g(a2)－5]＋[g(a8)－5]<0，…，则[g(a1)－5]＋[g(a2)－5]＋…＋[g(a9)－5]<0与题意不符，故g(a5)－5<0不成立；同理g(a5)－5>0也不成立，所以g(a5)－5＝0，所以a5＝5，根据等差数列的性质，得a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝45.9．复数z＝a＋i(a∈R)的共轭复数为，满足||＝1，则复数z＝________.答案 i解析 根据题意可得，＝a－i，所以||＝＝1，解得a＝0，所以复数z＝i.10．已知变量x，y满足约束条件则z＝－2x－y的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z＝－2x－y过点A(1,2)时，z取得最小值－4.11．已知α∈，β∈，满足sin(α＋β)－sinα＝2sinαcosβ，则的最大值为________．答案 解析 因为sin(α＋β)－sinα＝2sinαcosβ，所以sinαcosβ＋cosαsinβ－sinα＝2sinαcosβ，所以cosαsinβ－sinαcosβ＝sinα，即sin(β－α)＝sinα，则＝＝＝2cosα，因为α∈，所以2cosα∈，7\n所以的最大值为.12．已知正方形ABCD的边长为1，P为平面ABCD内一点，则(＋)·(＋)的最小值为________．答案 －1解析 以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，D(1,1)，设P(x，y)，则＝(－x,1－y)，＝(－x，－y)，＝(1－x，－y)，＝(1－x,1－y)，(＋)·(＋)＝(－2x,1－2y)·(2(1－x)，1－2y)＝(1－2y)2－4(1－x)x＝(1－2y)2＋(2x－1)2－1，当x＝，y＝时，(＋)·(＋)取得最小值－1.13．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被抛物线y＝4x2所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为________．答案 2解析 不妨设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，与抛物线方程联立，得消去y，得4ax2＋bx＝0，Δ＝b2>0，设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以所以x1，x2中有一个为0，一个为－，所以所截得的弦长为＝，7\n化简可得＝，bc＝2a2，(c2－a2)c2＝12a4，e4－e2－12＝0，得e2＝4或－3(舍)，所以双曲线C的离心率e＝2.14．如图，在四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝，∠BAD＝，∠CBD＝，沿BD把△ABD翻折起来，形成二面角A－BD－C，且二面角A－BD－C为，此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为________．答案 π解析 由题意可知BC＝BD＝2，△BCD，△ABD的外接圆圆心分别为CD，BD的中点E，F，分别过E，F作△BCD，△ABD所在平面的垂线，垂线的交点O即为球心，连接AF，EF，由题意可知∠AFE即为二面角A－BD－C的平面角，所以∠AFE＝.又∠OFA＝，所以∠OFE＝，EF＝BC＝1，所以OE＝EF·tan＝，所以R＝OC＝＝，所以V＝πR3＝π.7
