第八章 解析几何考点26 直线与圆两年高考真题演练1.(2022·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝02．(2022·新课标全国Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝( )A．2B．8C．4D．103．(2022·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－或－B．－或－C．－或－D．－或－4．(2022·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2B．4C．6D．25．(2022·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．(2022·浙江)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2B．－4C．－6D．－87．(2022·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )A.B.C．(6－2)πD.8．(2022·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．9．(2022·山东)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．10．(2022·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．11．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)241\n＝4截得的弦长为________．12．(2022·大纲全国)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．13．(2022·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．14．(2022·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．41\n考点26 直线与圆一年模拟试题精练1.(2022·北京海淀模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，则实数a的值是( )A．0B．2或－1C．0或－3D．－32．(2022·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为( )A.B.C.D.3．(2022·河南天一大联考)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为( )A．5πB．9πC．16πD．25π4．(2022·四川遂宁模拟)圆心在原点且与直线y＝2－x相切的圆的方程为________．5．(2022·德州模拟)已知直线x－y＋2＝0及直线x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．6．(2022·浙江金丽模拟)设直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于点P，Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则实数a的值为________．7．(2022·山师大附中模拟)已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度等于________．8．(2022·山东烟台模拟)已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上至少存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是________．9．(2022·湖北荆门模拟)由直线y＝x＋1上的点向圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．10．(2022·山东济南模拟)已知圆C过点(－1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为________．11．(2022·山东日照模拟)圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为________．12．(2022·四川遂宁模拟)已知定点A(－2，0)，F(1，0)，定直线l：x＝4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的.设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．(1)求C的方程；(2)以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．考点27 椭圆41\n两年高考真题演练1.(2022·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝12．(2022·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A．5B.＋C．7＋D．63．(2022·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．4．(2022·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．5．(2022·江西)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．6．(2022·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．41\n7．(2022·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.41\n考点27 椭圆一年模拟试题精练1．(2022·山东省聊城模拟)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.2．(2022·江西师大模拟)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P(x1，x2)必在( )A．圆x2＋y2＝2内B．圆x2＋y2＝2外C．圆x2＋y2＝1上D．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间3．(2022·湖北黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为α，P∈α，设PB，PC与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1＝θ2，则点P的轨迹为( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线4．(2022·江西重点联盟模拟)已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状( )A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆5．(2022·河北唐山模拟)在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A.B.C.D.6．(2022·安徽江南十校模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为________．7．(2022·江苏淮安模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x＝上，则椭圆的离心率为________．8．(2022·河南信阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为∶1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，T为直线x＝t(t∈R，t≠2)上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求t的值．41\n考点28 双曲线两年高考真题演练1.(2022·福建)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．11B．9C．5D．32．(2022·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝13．(2022·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．2C．6D．44．(2022·广东)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝15．(2022·新课标Ⅰ全国)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )A.B.C.D.6．(2022·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17．(2022·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C．3D．241\n8．(2022·广东)若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等9．(2022·新课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.B．3C.mD．3m10．(2022·湖北)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )A．0B．1C．2D．311．(2022·山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．12．(2022·北京)设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．13．(2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．41\n考点28 双曲线一年模拟试题精练1．(2022·山东潍坊模拟)如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－y＋＝0平行，则双曲线的离心率为( )A.B.C．2D．32．(2022·山东日照模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是( )A.B.C.D.3．(2022·山东青岛模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝14．(2022·河南开封模拟)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C1，C2的离心率分别为( )A.，3B.，C.，2D.，25．(2022·山东菏泽一模)设双曲线＋＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.－y2＝1B.－＝1C．y2－＝1D.－＝16．(2022·山东济南一模)点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于( )A.B.C.D.7．(2022·甘肃河西五地模拟)已知F2，F1是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上，下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A．3B.C．2D.8．(2022·江西师大模拟)双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y241\n＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )A.B．1＋C．1＋D．2＋9．(2022·山东淄博模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是( )A．b－a<|MO|－|MT|B．b－a>|MO|－|MT|C．b－a＝|MO|－|MT|D．b－a＝|MO|＋|MT|10．(2022·湖南一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.11．(2022·山东日照模拟)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________．12．(2022·河北唐山模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为________．13．(2022·山东青岛模拟)如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为________．41\n考点29 抛物线两年高考真题演练1.(2022·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C.D.2．(2022·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13．(2022·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)4．(2022·新课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )A．1B．2C．4D．85．(2022·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是( )A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－26．(2022·新课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．6C．12D．77．(2022·辽宁)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.8．(2022·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________41\n9.(2022·大纲全国)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．考点29 抛物线一年模拟试题精练1.(2022·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F(a，0)(a<0)，则抛物线的标准方程是( )A．y2＝2axB．y2＝4axC．y2＝－2axD．y2＝－4ax2．(2022·北京石景山模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py(p>0)上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为( )A．2B．8C.D．43．(2022·山东莱芜模拟)已知双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2＝2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为( )A．y2＝4xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝8x4．(2022·山东青岛模拟)已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－，则实数a＝________．5．(2022·北京西城模拟)若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x＋2y－4＝0上，则p＝________；C的准线方程为________．6．(2022·山东实验中学模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．7．(2022·湖北黄冈模拟)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|＝________．8．(2022·安徽江南十校模拟)已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F.(1)设抛物线上任一点P(m，n)，求证：以P为切点与抛物线相切的切线方程是mx＝y＋n；(2)若过动点M(x0，0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．41\n9．(2022·江西重点中学模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q(0，5)．(1)求p的值；(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．考点30 圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1．(2022·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值；41\n(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．2．(2022·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．3．(2022·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．4．(2022·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．41\n考点30 圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1．(2022·四川宜宾模拟)已知点P，Q的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是－.(1)求点M的轨迹方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与点M的轨迹交于A，B两点．试判断点O到直线AB的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由．2．(2022·河北唐山模拟)已知抛物线y2＝4x，直线l：y＝－x＋b与抛物线交于A，B两点．(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．3.(2022·山东烟台一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(1，0)，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T(t，0)，使得·＝·？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．41\n4．(2022·湖北七市模拟)已知椭圆C：＋＝1，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．41\n第八章 解析几何考点26 直线与圆【两年高考真题演练】1．D [设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.]2．C [由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.]3．D [圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.]4．C [圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6，选C.]5．D [直线过圆心(0，3)，与直线x＋y＋1＝0垂直，故其斜率k＝1.所以直线的方程为y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.故选D.]6．B [圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，因此圆心为(－1，1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，又弦长为4，因此由勾股定理可得()2＋＝()2，解得a＝－4.故选B.]7．A8．5 [由题意可知点A为(0，0)，点B为(1，3)．又∵直线x＋my＝0的斜率k1＝－41\n，直线mx－y－m＋3＝0的斜率k2＝m，∴k1k2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又由圆的性质可知，动点P(x，y)的轨迹是圆，∴圆的直径为|AB|＝＝.∴|PA|·|PB|≤＝＝5.当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立．∴|PA|·|PB|的最大值是5.]9．(x－2)2＋(y－1)2＝4 [∵圆心在直线x－2y＝0上，∴可设圆心为(2a，a)．∵圆C与y轴正半轴相切，∴a>0，半径r＝2a.又∵圆C截x轴的弦长为2，∴a2＋()2＝(2a)2，解得a＝1(a＝－1舍去)．∴圆C的圆心为(2，1)，半径r＝2.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]10．x2＋(y－1)2＝1 [因为(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆C是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1.]11. [圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，半径r＝2，圆心C到直线x＋2y－3＝0的距离为d＝＝，所求弦长l＝2＝2＝.]12. [如图所示，设l1与圆O：x2＋y2＝2相切于点B，l2与圆O：x2＋y2＝2相切于点C，则OB＝，OA＝，AB＝2.∴tanα＝＝＝.∴tan∠BAC＝tan2α＝＝＝.]13．2 [由题意，得圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝cos45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.]14．4± [由△ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为，即(1，a)到直线ax41\n＋y－2＝0的距离d＝＝，即a2－8a＋1＝0，可求得a＝4±.]【一年模拟试题精练】1．C [因为l1⊥l2，所以a＋a(a＋2)＝0，则a＝0或a＝－3，故选C.]2．B [直线的斜率为，即直线l的斜率为k＝tanα＝，所以tan2α＝＝＝＝，选B.]3．D [抛物线的准线方程为x＝－4，而圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5，故圆面积为25π.]4．x2＋y2＝2 [由题意知利用点到直线的距离公式得到圆的半径r＝，所以所求圆的方程为x2＋y2＝2.]5．25π [∵直线x－y＋2＝0与直线x－y－10＝0平行，且截圆C所得的弦长均为8，∴圆心到两直线的距离相等，两平行直线的距离d＝＝＝6，即圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝3，则圆的半径R＝＝5，故圆C的面积是25π.]6．－2 [因为圆x2＋y2－2x＋4y＝0，所以圆经过原点，圆的圆心坐标为即(1，－2)，因为直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于点P，Q，O为坐标原点，且OP⊥OQ，所以圆的圆心在直线ax＋2y＋6＝0上，所以a－4＋6＝0，所以a＝－2.]7. [圆心C的坐标为(0，1)，半径为，所以圆心到直线l：3x＋y－6＝0的距离d＝，利用勾股定理得到|AB|＝.]8．[4，6] [根据题意可以得到以AB为直径的圆与圆C至少有一个公共点，即|m－1|≤|OC|≤m＋1，而|OC|＝5，所有4≤m≤6.]9. [根据题意画出图形，当AC垂直与直线y＝x＋1时，|AC|最短，此时|BC|＝最小，由圆的方程得：圆心A(3，－2)，半径|AB|＝1，圆心A到直线y＝x41\n＋1的距离|AC|＝＝3，则切线长的最小值|BC|＝＝.]10．x＋y＋1＝0 [设圆心坐标为(a，0)，则由直线l：x－y－1＝0被圆C所截得的弦长为2，得＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，∵圆心在x轴的负半轴上，∴a＝－1，故圆心坐标为(－1，0)，∵直线l的斜率为1，∴过圆心且与直线l垂直的直线的方程为y－0＝－(x＋1)，即x＋y＋1＝0，故答案为：x＋y＋1＝0.]11. [每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点，在这11次中，半径为1的6次，半径为的3次，半径为0的2次，点A走过的路径的长度＝×2π×1×6＋×2π××3＝.]12．解 (1)F(1，0)，设P(x，y)为C上任意一点，依题意有＝，∴＋＝1.(2)易知直线DE斜率不为0，设直线DE方程为x＝ty＋1，由，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，由A(－2，0)，知AD方程为y－0＝(x＋2)，点M坐标为，同理，点N坐标为，由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，设G(n，0)在以MN为直径的圆上，则·＝·＝(4－n)2＋＝0，∴(4－n)2＋＝(4－n)2＋＝0，41\n即(4－n)2＋＝0，(4－n)2－9＝0，n＝1或n＝7，∴以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(1，0)和(7，0)．考点27 椭圆【两年高考真题演练】1．A [∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，∴椭圆方程为＋＝1，选A.]2．D [设Q(x，y)，则该点到圆心的距离d＝＝＝＝，y∈[－1，1]，∴当y＝－＝－时，dmax＝＝＝5.∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax＋r＝5＋＝6.故选D.]3．12 [如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知|AN|＝2|PF1|.同理可得|BN|＝2|PF2|.∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．41\n根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.]4．x2＋y2＝15. [由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得①－②，并整理得＝.(*)∵M是线段AB的中点，且过点M(1，1)的直线斜率为－，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝＝－，∴(*)式可化为＝，即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，即＝.∴e＝＝.]6．解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·.且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，41\n所以S(t)＝|AB|·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.7．解 (1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.【一年模拟试题精练】1．B [由题意知点P的坐标为，或，因为∠F1PF2＝60°，那么＝，∴2ac＝b2，这样根据a，b，c的关系式化简得到结论为，选B.]2．D [∵x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＝－(e－1)2＋2∈(1，2)，选D.]41\n3．B [如图，过B作BM⊥AE于M，过C作CN⊥DF于N，易知BM⊥平面AEFD，CN⊥平面AEFD，则∠BPM＝θ1，∠CPN＝θ2，由θ1＝θ2，可得tanθ1＝tanθ2，故＝⇒＝＝定值，且此定值不为1，故P点的轨迹为圆．]4．A [由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.]5．B [∵＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a>b>0，a<2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P＝＝1－＝，故选B.]6.＋＝1 [由题意得2a＝6，故a＝3，又离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝8，故椭圆方程为＋＝1.]7. [根据题意可得直线AB2：＋＝1，直线B1F：y＝(x－c)，联立解得x＝，又因为直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，所以有＝，整理得a2－ac－2c2＝0，即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或，而椭圆的离心率0<e<1，故e＝，故答案为.]41\n8．解 (1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)由(1)可得，F点的坐标是(2，0)．设直线PQ的方程为x＝my＋2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.∵TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为－m，其方程为y＝－m(x－2)．当x＝t时，y＝－m(t－2)，所以点T的坐标为(t，－m(t－2))，此时直线OT的斜率为，其方程为y＝x，将M点的坐标代入上式，得＝·.解得t＝3.考点28 双曲线【两年高考真题演练】1．B [由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.]2．C [由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.]3．D [焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.]4．B [因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.]5．A [由题意知M在双曲线C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得41\ny＝±，所以－<y0<.]6．A [由于双曲线焦点在x轴上，且其中一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以c＝5.又因为一条渐近线与l平行，因此＝2，可解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1，故选A.]7．A [设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos，而|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1－|PF2||＝2a2可得a＋3a＝4c2.令a1＝2cosθ，a2＝sinθ，即＋＝2cosθ＋sinθ＝2＝＝sin.故最大值为，故选A.]8．A9．A [由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.]10．A [可解方程t2cosθ＋tsinθ＝0，得两根0，－.由题意可知不管a＝0还是b＝0，所得两个点的坐标是一样的．不妨设a＝0，b＝－，则A(0，0)，B，可求得直线方程y＝－x，因为双曲线渐近线方程为y＝±x，故过A，B的直线即为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点，故选A.]11. [由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p·x，∴x＝，y＝，∴A.41\n设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴·＝－1，∴＝.设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.]12.－＝1 y＝±2x [双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.设与双曲线－x2＝1有共同渐近线的方程为－x2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为－x2＝－3，即－＝1.所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.]13. [由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y＝x与y＝－x，它们分别与x－3y＋m＝0联立方程组，解得A，B.由|PA|＝|PB|知，可设AB的中点为Q，则Q，由PQ⊥AB，得kPQ·kAB＝－1，解得2a2＝8b2＝8(c2－a2)，即＝.故＝.]【一年模拟试题精练】1．C [因为双曲线的渐近线与直线x－y＋＝0平行，所以＝，所以离心率e＝2，故选C.]2．A [由抛物线定义可得M点到准线的距离为5，因此p＝8，故抛物线方程为y241\n＝16x，所以M(1，4)，点A(－，0)，由AM的斜率等于渐近线的斜率得＝，解得a＝，故答案为A.]3．A [由题意知：＝，c＝5，所以a2＝20，b2＝5，则双曲线的方程为－＝1，故选A.]4．B [由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1，C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B.]5．C [由题意知双曲线的一个焦点为(0，2)，所以焦点在y轴上，故选C.]6．C [因为点A到抛物线C1的准线距离为p，所以A，则双曲线的渐近线的方程为y＝±2x，所以＝2，则离心率e＝，故选C.]7．C [由题意，F1(0，－c)，F2(0，c)，一条渐近方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b.设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，∴3c2＝4(c2－a2)，∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2.故选C.]8．B [∵c＝1，|AF2|＝|F1F2|＝2＝＋xA＝1＋xA，∴xA＝1，∴A(1，2)．由|AF1|＝＝2，即2a＝2－2⇒a＝－1，∴e＝＋1，选B.]9．C [连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b，41\n连接PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴OM＝PF2，∴|MO|－|MT|＝PF2－＝(PF2－PF1)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a.故选C.]10．A [∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，∴|EF|＝＝b，∵＝(＋)，∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，设F′(c，0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF′的中位线，则|PF′|＝2|OE|＝2a，可令P的坐标为(m，n)，则有n2＝4cm，由抛物线的定义可得|PF′|＝m＋c＝2a，m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，化简可得，c2－ac－a2＝0，由于e＝，则有e2－e－1＝0，由于e＞1，解得，e＝.故选A.]11. [由题意知e＝＝2，(a＞0)，由此可以求出a的值.]12. [双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)，渐近线方程为y＝±x，则(c，0)到y＝x的距离d＝＝＝b，又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b＝×2c，两边平方，得4b2＝c2，即4(c2－a2)＝c2，∴3c2＝4a2，＝，即e2＝，e＝.]13．1＋ [设正六边形ABCDEF的边长为1，中心为O，以AD所在直线为x轴，以O为原点，建立直角坐标系，则c＝1，在△AEF中，由余弦定理得AE2＝AF2＋EF2－2AF·EFcos120°＝1＋1－2×1×1×41\n＝3，∴AE＝，2a＝AE－DE＝－1，∴a＝，∴e＝＝＝＋1.]考点29 抛物线【两年高考真题演练】1．A [由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.]2．D [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.]3．D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k＝5－x0，2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，41\n∴－2＜y0＜2，因为点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故选D.]4．A [由抛物线方程y2＝x知，2p＝1，＝，即其准线方程为x＝－.因为点A在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|＝x0＋＝x0＋，于是x0＝x0＋，解得x0＝1，故选A.]5．A [抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.]6．C [由已知得焦点F为，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝.联立方程消去y得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.又直线AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12.故选C.]7．D [由题意可知准线方程x＝－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k＞0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程消去x得ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8，8)，又焦点F为(2，0)，故直线BF的斜率为.]8．2 [由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.]9．解 (1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.41\n由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.【一年模拟试题精练】1．B [因为抛物线的焦点F(a，0)(a＜0)，开口向左，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B.]2．D [由题意知1＋＝3，∴p＝4，所以焦点到准线的距离为4，故选D.]41\n3．C [根据题意得：解得：c＝2，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x，故选C.]4. [抛物线的标准方程为x2＝y，则准线方程为y＝－＝－，∴a＝.]5．8 x＝－4 [抛物线C：y2＝2px的焦点为在直线x＋2y－4＝0上，则p＝8，C的准线方程为x＝－4.]6．－12 [由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.]7．1 [设B(x1，y1)，因为y＝x2，所以y′＝x，y′|x＝x1＝x1＝1，可得B，因为F，所以直线l的方程为y＝，故|AF|＝|BF|＝－＝1.]8．证明 (1)由抛物线C：x2＝2y得，y＝x2，则y′＝x，∴在点P(m，n)处切线的斜率k＝m，∴切线方程是y－n＝m(x－m)，即y－n＝mx－m2.又点P(m，n)是抛物线上一点∴m2＝2n，∴切线方程是mx－2n＝y－n，即mx＝y＋n(也可联立方程证得)(2)直线MF与直线l位置关系是垂直．由(1)得，设切点为P(m，n)，则切线l的方程为mx＝y＋n，∴切线l的斜率k＝m，点M，又点F，此时，kMF＝＝－＝－＝－，41\n∴k·kMF＝m×＝－1，∴直线MF⊥直线l.9．解 (1)F，当l的倾斜角为45°时，l的方程为y＝x＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x2－2px－p2＝0，x1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p得AB中点为D，AB中垂线为y－p＝－(x－p)，x＝0代入得y＝p＝5，∴p＝2.(2)设l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，AB中点为D(2k，2k2＋1)，令∠MDN＝2α，S＝2α·|AB|＝α·|AB|，∴＝α，D到x轴的距离|DE|＝2k2＋1，cosα＝＝＝1－.当k2＝0时cosα取最小值，此时α取最大值.故的最大值为.考点30 圆锥曲线的综合问题【两年高考真题演练】1．解 (1)由题意知2a＝4，则a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，41\n又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所在△ABQ面积的最大值为6.2．解 (1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.41\n(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点p(0，－a)符合题意．3．解 (1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1，2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.41\n4．解 (1)由题意知F，设D(t，0)(t＞0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)①由(1)知F(1，0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD＞0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1.由xD＞0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝－＝，可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．所以直线AE过定点F(1，0)．②由①知直线AE过焦点F(1，0)，41\n所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.设B(x1，y1)，直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝＝＝4.则△ABE的面积S＝×4·≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.【一年模拟试题精练】1．解 (1)设M(x，y)，由题可得·＝－，＋y2＝1，所以点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠±2)．(2)点O到直线AB的距离为定值，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y＝x，将y＝x代入＋y2＝1，解得x＝±，所以点O到直线AB的距离为d＝；41\n②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m与＋y2＝1(x≠±2)，联立消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝,因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，所以(1＋k2)－＋m2＝0，整理得5m2＝4(1＋k2)，所以点O到直线AB的距离d＝＝，综上可知点O到直线AB的距离为定值.2.解 (1)联立，消x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.依题意应有Δ＝64＋32b＞0，解得b＞－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应有x0＝，y0＝＝－4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r＝|y0|＝4，又|AB|＝＝＝＝.所以|AB|＝2r＝＝8，解得b＝－.所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，所以圆心为.故所求圆的方程为＋(y＋4)2＝16.(2)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，又l与抛物线交于两点，由(1)知b＞－2，所以－2＜b＜0，直线l：y＝－x＋b整理得x＋2y－2b＝0，点O到直线l的距离d＝＝，所以S△AOB＝|AB|d＝－4b＝4.41\n令g(b)＝b3＋2b2，－2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b，b－g′(b)＋0－g(b)极大由上表可得g(b)的最大值为g＝.所以当b＝－时，△AOB的面积取得最大值.3．解 (1)由题意知c＝1，又＝tan60°＝，所以b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆的方程为：＋＝1.(2)设直线PQ的方程为：y＝k(x－1)(k≠0)，代入＋＝1，得：(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为R(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝－，由·＝·得：·(＋)＝·(2)＝0，所以直线TR为直线PQ的垂直平分线，直线TR的方程为：y＋＝－(x－)，令y＝0得：T点的横坐标t＝＝，因为k2∈(0，＋∞)，所以＋4∈(4，＋∞)，所以t∈.所以线段OF上存在点T(t，0)，使得·＝·，其中t∈.4.解 (1)A(－a，0)，B(a，0)，设P(x0，y0)，则＋＝1，依题意·＝－，得a2＝8，41\n∴椭圆标准方程为＋＝1.(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋p，代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋4kpx＋2p2－8＝0因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝16k2p2－4(1＋2k2)(2p2－8)＝8(4＋8k2－p2)＝0，即4＋8k2＝p2.设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则·＝＝4.即(st＋4)k＋p(s＋t)＝0(*)，或(st＋12)k2＋(s＋t)kp＋8＝0(**)由(*)恒成立，得，解得或(**)不恒成立．②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝±2时，定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积(2－2)(2＋2)＝4.综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为定值4.41
