第九章 统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列考点31 统计、统计案例两年高考真题演练1.(2022·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．167B．137C．123D．932．(2022·新课标全国Ⅰ)根据下面给出的2022年至2022年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A．逐年比较，2022年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2022年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2022年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3．(2022·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元4．(2022·安徽)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )A．8B．15C．16D．325．(2022·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，24\n则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．6．(2022·安徽)某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法．收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附K2＝P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879考点31 统计、统计案例一年模拟试题精练1．(2022·安徽宿州模拟)某种商品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中的m的值为( )x24568y3040m5070A.45B．50C．55D．602．(2022·山东泰安一模)根据如下样本数据x34567y4.02.5－0.50.5－2.024\n得到的回归方程为＝bx＋a.若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就( )A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位3．(2022·安徽江南十校模拟)将甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若x甲，x乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是( )A．x甲＞x乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B．x甲＞x乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C．x甲＜x乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D．x甲＜x乙，且乙队员比甲队员成绩稳定4．(2022·广东潮州模拟)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为(4，5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为( )A．16.3B．17.3C．12.38D．2.035．(2022·广东东莞模拟)对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则不正确的说法是( )A．若求得的回归方程为＝0.9x－0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B．若这组样本数据分别是(1，1)，(2，1.5)，(4，3)，(5，4.5)，则其回归方程＝bx＋a必过点(3，2.5)C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1＝0.8.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2＝2.1，则模型1的拟合效果更好D．若用相关指数R2(R2＝1－，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．考点32 排列、组合、二项式定理两年高考真题演练1.(2022·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．2122．(2022·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )A．4B．5C．6D．73．(2022·湖南)已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )24\nA.B．－C．6D．－64．(2022·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个5．(2022·新课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10B．20C．30D．606．(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种7．(2022·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144B．120C．72D．248．(2022·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种9．(2022·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72B．120C．144D．16810．(2022·福建)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．11．(2022·安徽)的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案)．12．(2022·新课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________．13．(2022·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．14．(2022·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．(2022·新课标全国Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字填写答案)．16．(2022·安徽)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________．24\n考点32 排列、组合、二项式定理一年模拟试题精练1．(2022·重庆万州区模拟)8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有( )A.CB.CAC．CAD.3C2．(2022·安徽江南十校模拟)在二项式(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为( )A．12B．8C．6D．43．(2022·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( )A．36种B．30种C．24种D．6种4．(2022·山东滨州模拟)七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A．240种B．192种C．120种D．96种5．(2022·山东济南一模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有( )A．48种B.60种C．96种D．72种6．(2022·江西模拟)学校组织老师参加社会调查，某小组共有5名男教师，4名女教师．现从该小组中选出3位老师分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的老师中男女均有，则不同安排方法有( )A．70种B．140种C．840种D．420种7．(2022·安徽江南十校模拟)某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动．若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为( )A．4320B．2400C．2160D．13208．(2022·东北三省三校模拟)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则＝( )A．2n－1＋3B．2(2n－1＋1)24\nC．2n＋1D．19．(2022·甘肃河西模拟)从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答)．10．(2022·贵州模拟)(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为________(结果化成最简形式)．11．(2022·广东广州模拟)由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．12．(2022·安徽马鞍山模拟)某班3名男生2名女生被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，两名女生不去同一单位，则不同的分派方案有________(用数字作答)．13．(2022·广州惠州模拟)二项式(x－)6的展开式的常数项是________(用数字作答)．14．(2022·湖北七州模拟)若函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则(x－)6的展开式中的常数项为________(用数字作答)．24\n考点33 古典概型、几何概型两年高考真题演练1．(2022·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )A．p1<p2<p3B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p12．(2022·湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.3．(2022·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.B.C.D.4．(2022·新课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B.C.D.5．(2022·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．(2022·福建)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．7．(2022·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．8．(2022·福建)如图，24\n在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．9．(2022·辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．10．(2022·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．11．(2022·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点33 古典概型、几何概型一年模拟试题精练1．(2022·四川成都模拟)一个边长为2m，宽1m的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为( )A.m2B.m2C.m2D.m22．(2022·广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有5名同学组成，24\n其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )A.0.35B.0.4C.0.6D.0.73．(2022·贵州模拟)设实数a，b均为区间[0，1]内的随机数，则关于x的不等式bx2＋ax＋＜0有实数解的概率为( )A.B.C.D.4．(2022·广东广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M(x，y)，则|OM|≤2的概率是________．5．(2022·青岛一模)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为________．6．(2022·江南十校模拟)已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2，x，y∈Z}集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x，y∈Z}在集合A中任取一个元素a，则a∈B的概率是________．7．(2022·山东莱芜模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．考点34 离散型随机变量及其分布列两年高考真题演练1．(2022·湖北)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)24\nD．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)2．(2022·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386B．2718C．3413D．47723．(2022·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( )A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%4．(2022·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2)．则( )A．p1＞p2，E(ξ1)＜E(ξ2)B．p1＜p2，E(ξ1)＞E(ξ2)C．p1＞p2，E(ξ1)＞E(ξ2)D．p1＜p2，E(ξ1)＜E(ξ2)5．(2022·浙江)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．6．(2022·重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点34 离散型随机变量及其分布列一年模拟试题精练1．(2022·山东滨州模拟)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为( )A.B.C．3D.2．24\n(2022·福建福州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )A.B.C.D.3．(2022·广东模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，1).若P(1≤X≤3)＝0.6826，则P(X＞3)等于________．4．(2022·山东济南一模)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．5．(2022·成都二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：使用时间t(单位：千小时)t<44≤t<6t≥6每件产品的利润y(单位：元)－202040若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．24\n第九章 统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列考点31 统计、统计案例【两年高考真题演练】1．B [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.]2．D [从2022年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2022年二氧化硫排放量与2022年排放量的差最大，A选项正确；2022年二氧化硫排放量较2022年降低了很多，B选项正确；虽然2022年二氧化硫排放量较2022年多一些，但自2022年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2022年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]3．B [回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b^＝0.76，∴a^＝0.4，由y^＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，y^＝11.8万元．故选B.]4．C [法一 由题意知，x1＋x2＋…＋x10＝10x，s1＝，则y＝[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2x10－1)]＝[2(x1＋x2＋…＋x10)－n]＝2x－1，所以S2＝＝＝2s1，故选C.法二 由方差的性质可得．]5．4 [由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．]6．解 (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，9024\n份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【一年模拟试题精练】1．B [因为线性回归方程为＝6.5x＋17.5恒过样本中心点，而x＝5，∴y＝50，则m＝50，故选B.]2．B [因为回归方程为y＝bx＋a恒过样本中心点(5，0.9)，所以b＝－1.4，则x每增加一个单位，y就减少1.4个单位，故选B.]3．B [根据茎叶图，知：甲的平均成绩为x甲＝＝25.6乙的平均成绩为x乙＝＝22.6甲的方差为s＝×[(14－25.6)2＋(25－25.6)2＋(26－25.6)2＋(30－25.6)2＋(33－25.6)2]＝41.84，乙的方差为s＝[(16－22.6)2＋(20－22.6)2＋(22－22.6)2＋(24－22.6)2＋(31－22.6)2]＝24.64；∴x甲＞x乙，s>s，即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．]4．C [设线性回归方程为y＝1.23x＋a，因为样本中心点为(4，5)，所以a＝0.08，故当x＝10时，y＝12.38，故选C.]5．D [相关指数R2越接近于1拟合效果越好，故选D.]6．解 (1)∵i＝25，∴x＝i＝4，y＝i＝5.∴b＝＝＝1.2，24\na＝y－bx＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程y＝1.2x＋0.2.(2)由(1)知b＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．(3)由(1)知，当x＝8时，y＝1.2×8＋0.2＝9.8(万元)，即估计使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元.考点32 排列、组合、二项式定理【两年高考真题演练】1．A [由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.]2．C [由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.]3．D [的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.]4．B [由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.]5．C [Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.]6．C [从6名男医生中选出2名有C种选法，从5名女医生中选出1名有C种选法，故共有C·C＝×5＝75种选法，选C.]7．D [插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为A＝24.故选D.]8．B [(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为A；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为CA.因此不同的排法的种数为A＋CA＝120＋96＝216.]9．B [解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法，故选B.]10．80 [T3＝Cx2·23＝80x2，∴x2的系数等于80.]11．35 [的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(x3)7－r·＝C·x21－4r，24\n令21－4r＝5，得r＝4，∴T5＝Cx5＝35x5.]12．3 [设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]13．1560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言．]14．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]15. [设展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令r＝3，得T4＝Cx7a3，即Ca3＝15，得a＝.]16．3 [由题意得a1＝·C＝＝3，∴n＝3a；a2＝C＝＝4，∴n2－n＝8a2.将n＝3a代入n2－n＝8a2得9a2－3a＝8a2，即a2－3a＝0，解得a＝3或a＝0(舍去)．∴a＝3.]【一年模拟试题精练】1．C [从8人中任选3人有C种，3人位置全调有A种，故有CA种．故选C.]2．B [展开式中第r＋1项是C(x3)n－r＝Cx3n－4r(－1)r＝28，则∴n＝8，r＝6.]3．B [从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，24\n同其他两个元素在三个位置上排列CA＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A种结果，∴不同的参赛方案共有36－6＝30，故选B.]4．B [分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有A种方法，故共有2×4×A＝192(种)．故选B.]5．D [设四棱锥为P－ABCD.下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，(1)P的着色方法种数为C，A的着色方法种数为C，B的着色方法种数为C，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C.(2)P的着色方法种数为C，A的着色方法种数为C，B的着色方法种数为C，C与B不同色时C的着色方法种数为C，D的着色方法种数为C.综上两类共有C·C·2·C＋C·C·2＝48＋24＝72种结果．故选D.]6．D [∵共有男女教师九人选三个到A、B、C三地进行调查共有A种结果，要求这3位老师中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A种结果，选的都是女教师有A种结果，∴满足条件的方案有A－(A＋A)＝420.]7．D [N＝×A＝1320.]8．C [由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝也成等比数列，所以＝2n＋1，故选C.]9．49 [丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C＝84，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C＝35，∴满足条件的事件数是84－35＝49，]10．－1024 [求(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和，即5个多项式(1－x－5y)在展开时全不含x，(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1－5y)5的各项系数和，对于(1－5y)5令y＝1得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1024；故答案为－1024]11．280 [当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A；当十位数字与千位数字为1，8时，四位数的个数是AA；当十位数字与千位数字为2，9时，四位数的个数是AA，故所求的四位数的个数是A＋AA＋AA＝280.]12．114 [先分2名女生，有A＝6(种)，再分男生，男生的分法有(1，1，1)，(2，1，0)，(3，0，0)三类，即(A＋C·C·C＋C)＝19(种)，根据分步计数原理，得不同的分派方案有6×19＝114(种)．]13．－20 [∵(x－)6＝[x＋(－x－1)]6，Tr＋1＝Cx6－r(－x－1)r＝(－1)rCx6－2r，当6－2r＝0则r＝3，常数项为T4＝(－1)3C＝－20.]24\n14．15 [函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则a＝xdx＋··1＝1，所以6＝(x－)6的展开式中的常数项为C(－1)2＝15.]考点33 古典概型、几何概型【两年高考真题演练】1.B [在直角坐标系中，依次作出不等式x＋y≥，|x－y|≤，xy≤的可行域如图所示：依题意，p1＝，p2＝，p3＝，因为S△ABO＝S△BEG＝S△DGF，所以p2<p3<p1.故选B.]2．D [如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S△AOM＝×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S阴＝SΩ1－S△ABC＝2－×1×＝.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P＝＝＝.故选D.]3．C [从5个点取2个共有C＝10种取法，24\n而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角线，共6种，所以P＝＝.]4．D 由题意知基本事件总数为24＝16，对4名同学平均分组共有＝3(种)，对4名同学按1，3分组共有C种，所以周六、周日都有同学参加共有3×A＋CA＝14(种)．由古典概型得所求概率为＝.]5. [这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.]6. [由几何概型的概率公式：P＝1－＝.]7. [用x轴表示小张到校时刻，用y轴表示小王到校时刻，建立如图直角坐标系．设小张到校的时刻为x，小王到校的时刻为y，则x－y≥5.由题意，知0≤x≤20，0≤y≤20，可得可行域如图所示，其中，阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校．由得A(20，15)．易知B(20，20)，C(5，0)，D(20，0)．由几何概型概率公式，得所求概率P＝＝＝.]8. [根据题意y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称，所以两个阴影部分的面积相等．联立y＝e与y＝ex得x＝1，所以阴影部分的面积S＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)＝2[(e－e)－(0－1)]＝2，又正方形面积为e2，由几何概型可知所求概率为.]9. [由题意可知空白区域的面积为∫[x2－(－x2)]dx＝x3＝.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为4－＝，∴所求概率为＝.]24\n10. [本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为＝.]11．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1，150×＝3，100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3，C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.【一年模拟试题精练】1．B [由几何概型的概率计算公式可知，会标的面积约为×2＝，故选B.]2．D [来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，23，2A，2B，3A，3B共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P＝＝0.7.]3．C [由题意，若b＝0，a≠0时不等式bx2＋ax＋＜0有实数解；若b≠0，则Δ＝a2－b＞0；作出平面区域如下，24\n关于x的不等式bx2＋ax＋＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，S阴＝0＝；故＝＝；故选C.]4. [作出可行域如图所示：不等式组所表示的平面区域W是图中正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是2×2＝4.从区域W中随机取点M(x，y)，使|OM|≤2，则点M落在图中阴影部分．在Rt△AOM中，MA＝，∠AOM＝，所以阴影部分的面积是2＝＋，故所求的概率是＝.]5. [设AC＝x，则BC＝12－x，矩形的面积S＝x(12－x)＞20，∴x2－12x＋20＜0，∴2＜x＜10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P＝＝.]6. [满足集合A的点有：(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)共13个，满足集合B的有：(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共9个，则a∈B的概率是.]7．解 (1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为＝，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝24\n＝1－.考点34 离散型随机变量及其分布列【两年高考真题演练】1．C [对于A项，因为正态分布曲线关于直线x＝μ对称，所以μ1<μ2.所以P(Y≥μ1)>0.5＝P(Y≥μ2)．故A项错误；对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以σ1<σ2.所以P(X≤σ1)<P(X≤σ2)．故B项错误；对于C项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线，可知：在任何情况下，X的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积，即对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．故C项正确；对于D项，由图象可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(X≥t)<P(Y≥t)．故D项错误．故选C.]2．C [由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.6826，∴P(0≤X≤1)＝×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，∴x＝10000×0.3413＝3413，故选C.]3．B [由题意，知P(3＜ξ＜6)＝＝＝13.59%.]4．A [p1＝＋×＝，p2＝，p1－p2＝－＝＞0.故p1＞p2，ξ1的可能取值为1，2，P(ξ1＝1)＝＝；P(ξ1＝2)＝＝.24\n故E(ξ1)＝1×＋2×＝.ξ2的可能取值为1，2，3.P(ξ2＝1)＝＝，P(ξ2＝2)＝＝，P(ξ2＝3)＝＝，故E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝于是E(ξ1)－E(ξ2)＝－＝＝.又∵m≥3，n≥3，∴E(ξ1)－E(ξ2)＜0，即E(ξ1)＜E(ξ2)．综上，应选A.]5. [设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2＝1，解得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]6．解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的分布列为X012P24\n故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．【一年模拟试题精练】1．C [由E(ξ)＝，D(ξ)＝，得解得或由于x1<x2，∴∴x1＋x2＝3.]2．C [由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈，故应选C.]3．0.1587 [因为随机变量X服从正态分布N(2，1)，所以P(X＞3)＝P(X＜1)，因为P(X＜1)＋P(1≤X≤3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X＞3)＝(1－0.6826)＝0.1587.]4．解 (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30.P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝10)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝20)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝30)＝××＝＝.ξ的分布列为：ξ0102030P∴E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋30×＝.(2)用A表示“甲得30分乙得0分”，用B表示“甲得20分乙得10分”，且A，B互斥．24\n又P(A)＝×＝，P(B)＝C××＝，甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＝.5．解 (1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝.从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝.∴从A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P＝C××C×＋C×C2＋C×C＝.(2)据题意知，X的可能取值为－40，0，20，40，60，80.∵P(X＝－40)＝C＝，P(X＝0)＝C×＝，P(X＝20)＝C×＝，P(X＝40)＝C＝，P(X＝60)＝C×＝，P(X＝80)＝C＝，∴X的分布列为：X－40020406080P∴数学期望E(X)＝(－40)×＋0＋20×＋40×＋60×＋80×＝52.24
