[第16讲 圆锥曲线中的热点问题](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点和.(1)求椭圆的方程.(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，取点A(0，)，E(x0，0)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于原点的对称点，证明：直线QG与椭圆只有一个公共点.2．已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P(2，2)，以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0，1)，记M，N为圆C2与x轴的两个交点.(1)求抛物线C1的方程.(2)当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论.(3)当圆心C2在抛物线上运动时，记|AM|＝m，|AN|＝n，求＋的最大值.3．已知A，B是椭圆＋y2＝1上的两点，且＝λ，其中F为椭圆的右焦点.(1)当λ＝2时，求直线AB的方程；(2)设点M，求证：当实数λ变化时，·恒为定值.提升训练-5-\n4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°且△PF1F2的面积S△PF1F2＝.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－1平分？若存在，求出l的斜率取值范围；若不存在，请说明理由.5．P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B分别是椭圆的左右顶点，直线PA，PB的斜率之积为－.(1)求椭圆的离心率；(2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1＜x2，O为坐标原点，C为椭圆上一点，且＝λ＋，求实数λ的值.-5-\n专题限时集训(十六)B【基础演练】1．解：(1)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点和，∴解得a2＝2，b2＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设D(x1，0)．∵A(0，)，E(x0，0)，∴＝(x0，－)，＝(x1，－)，由题意知AE与AD垂直，所以有·＝x1·x0＋2＝0，∴x1＝－，又点G是点D关于原点的对称点，∴G，∴kQG＝＝＝，∴lQG：y－y0＝－(x－x0)．整理得y＝.(*)将(*)式代入椭圆方程得x2＋2·＝2，∴整理得x2－2x0·x＋x＝0.∴Δ＝(－2x0)2－4·x＝0.∴直线QG与椭圆C只有一个公共点．2．解：(1)由已知，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则22＝2p×2，解得p＝1.故所求抛物线C1的方程为x2＝2y.(2)方法一：设圆心C2，则圆C2的半径r＝，圆C2的方程为(x－a)2＋＝a2＋.令y＝0，得x2－2ax＋a2－1＝0，得x1＝a－1，x2＝a＋1.|MN|＝|x1－x2|＝2(定值)．-5-\n方法二：设圆心C2(a，b)，因为圆过点A(0，1)，所以半径r＝，因为C2在抛物线上，所以a2＝2b，且圆被x轴截得的弦长|MN|＝2＝2＝2＝2(定值)．(3)由(2)，不妨设M(a－1，0)，N(a＋1，0)，则m＝＝，n＝＝，＋＝＝＝2，a＝0时，＋＝2；a≠0时，＋＝2≤2，故当且仅当a＝±时，＋取得最大值2.3．解：(1)由已知条件知，直线AB过椭圆右焦点F(1，0)．又直线AB不与x轴重合时，可设AB：x＝my＋1，代入椭圆方程，并整理得(2＋m2)y2＋2my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝.又由＝2得－y1＝2y2，所以y1＝，y2＝.于是＝，解之得m＝±.故直线AB的方程为x±y－1＝0.(2)证明：·＝＋y1y2＝＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－(y1＋y2)＋＝－＋＋＝＝＝－为定值．(经检验，当AB与x轴重合时也成立)4．解：(1)由题意知：|F1F2|＝2c＝2，∵椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且S△PF1F2＝，∴S△PF1F2＝|F1F2|·|PF1|＝×2×|PF1|＝.∴|PF1|＝，|PF2|＝＝.∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2.又∵c＝.∴b＝＝1.-5-\n∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设这样的直线l存在．∵l与直线x＝－1相交，∴直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx＋m，由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.(*)∵直线l与椭圆C有两个交点，∴(*)的判别式Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜4k2＋1.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵MN被直线x＝－1平分，可知k≠0，∴＝＝－1，m＝.②把②代入①，得＜4k2＋1，即48k4＋8k2－1＞0.∵k2≥0，∴k2＞.∴k＜－或k＞.即存在满足题设条件的直线l，且l的斜率取值范围是∪.5．解：(1)设P(x0，y0)，A(－a，0)，B(a，0)，则kPA＝，kPB＝，由kPA·kPB＝－，得·＝－，又因为＋＝1，所以＝，e＝＝.(2)由(1)得a2＝3c2，b2＝2c2，故椭圆方程为＋＝1，与直线y＝(x－c)联立得2x2＋3×2(x－c)2－6c2＝0，即8x2－12cx＝0，解得x1＝0，x2＝，y1＝－c，y2＝c，即M(0，－c)，N，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(x3，y3)，因为＝λ＋，所以x3＝λx1＋x2＝，y3＝λy1＋y2＝－λc＋c，代入椭圆方程得2＋3－6c2＝0，化简得λ2－λ＝0，解得λ＝0或λ＝1.-5-
