【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第6节空间直角坐标系(文)北师大版一、选择题1．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是( )A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0)D．(0，－8,0)[答案] C[解析] 点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以＝7，解得y＝2或8.2．在空间直角坐标系中，所有点P(x,1,2)(x∈R)的集合表示( )A．一条直线B．平行于平面xOy的平面C．平行于平面xOz的平面D．两条直线[答案] A[解析] 点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线．3．(2022·郑州模拟)A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )A．(，1，－2)B．(，2,3)C．(－12,3,5)D．(，3,2)[答案] B[解析] 设中点坐标为(x，y，z)，则x＝＝，y＝＝2，z＝＝3，即中点坐标为(，2,3)．4．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列四条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确的个数是( )-5-\nA．3B．2C．1D．0[答案] C[解析] ①②③不正确；类比平面直角坐标系中的对称问题，易知④正确．5．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－1,2,3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2,3)D．(－1,2，－3)[答案] B[解析] 关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数．6．点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面zOx内的射影的坐标为( )A．(－x，－y，－z)B．(x，y，z)C．(0,0,0)D．[答案] C[解析] 点M(x，y，z)在平面xOy内的射影为M1(x，y,0)，M1在平面yOz内的射影为M2(0，y,0)，M2在平面xOz内的射影为原点O(0,0,0)．二、填空题7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．[答案] 或[解析] 设点P的坐标为(0,0，z)，由|OP|＝1得＝|z|＝1，故z＝±1.当z＝1时，点P的坐标为(0,0,1)，|PA|＝＝；当z＝－1时，点P的坐标为(0,0，－1)，|PA|＝＝.8．在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3，则A点的坐标是______________．[答案] (0,0,6)或(0,0，－2)[解析] 设A(0,0，a)，则|AB|＝＝3，即(a－2)2＝16，∴a＝6或a＝－2，∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．9．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz-5-\n上的射影的长度为________．[答案] [解析] 求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝＝.三、解答题10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．[解析] (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立，也就是说y轴上的所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝＝，|AB|＝＝，所以＝，解得y＝±.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).一、选择题1．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于xOy面对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2B．4C．2D．2[答案] B[解析] 点C的坐标为(1,2,1)，点B的坐标为(1，－2,1)，所以|BC|＝＝4.2．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上，且到A、B两点间的距离相等，则M的坐标为( )A．(－3,0,0)B．(0，－3,0)-5-\nC．(0,0，－3)D．(0,0,3)[答案] C[解析] 设点M的坐标为(0,0，z)，则12＋02＋(2－z)2＝12＋32＋(1－z)2，∴z＝－3，∴点M的坐标为(0,0，－3)．二、填空题3．已知两点M(3cosα，3sinα，1)，N(2cosβ，2sinβ，1)，则||的取值范围是____________．[答案] [1,5][解析] ||2＝(3cosα－2cosβ)2＋(3sinα－2sinβ)2＝13－12(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝13－12cos(α－β)，则1≤||2≤25，∴1≤||≤5.4．已知空间中的四个点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)．则三棱锥O—ABC的体积是________．[答案] [解析] 如图，由题设知，O，A，B，C为一正方体的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO—ABC＝V正方体－4VD－ABC＝1－＝.三、解答题5．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P坐标．[解析] ∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x,0,0)，∵|PP1|＝2|PP2|，∴＝2∴x＝±1，∴P点为(1,0,0)和(－1,0,0)．6.如图所示，在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1的对角线O1B上有一点P，棱B1C1上有一点Q.(1)当Q为B1C1的中点，点P在对角线O1B上运动时，试求|PQ|的最小值；(2)当Q在B1C1上运动，点P在O1B上运动时，试求|PQ-5-\n|的最小值．[解析] (1)Q为B1C1的中点，所以Q(1,2,2)，P在xOy坐标平面上的射影落在线段OB上，在yOz坐标平面上的射影落在线段O1C上，∴P的坐标(x，y，z)满足，设P＝(x，x,2－x)，则|PQ|＝＝＝.当且仅当x＝1，即P(1,1,1)时，|PQ|有最小值.(2)由(1)和题意得，设P(x1，x1,2－x1)，Q(x2,2,2)，则|PQ|＝＝当且仅当，即时，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值为.-5-
