【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第9节函数模型及其应用北师大版一、选择题1．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )[答案] B[解析] 根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A．100台 B．120台C．150台D．180台[答案] C[解析] 设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，又∵x∈N*，∴x≥150.3．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )A．y＝x2 B．y＝x2C．y＝x2D．y＝x2[答案] D[解析] y＝·x·x·sin60°＝x2.(理)2022年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2022年7月1日可取款( )A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)6元C．a＋(1＋x)5元D．a(1＋x5)元[答案] A[解析] 因为年利率按复利计算，一年后可取回a(1＋x)元，二年后可取回a(1＋x)2-7-\n元，…，所以到2022年7月1日可取款a(1＋x)5.4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A．10元 B．20元C．30元 D．元[答案] A[解析] 设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.5．(文)(原创题)《走向高考》系数丛书2022年的销量比2022的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的销量确定[答案] B[解析] (1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B．(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606 B．45.6C．45.56D．45.51[答案] B[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．-7-\n6．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫作税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )A．2 B．6C．8D．10[答案] A[解析] 依题意有：(100－10x)×70×≥112，∴2≤x≤8.二、填空题7．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．[答案] 15[解析] 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)．8．(2022·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案] 4[解析] 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.9．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．[答案] 20[解析] 由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值为20.-7-\n三、解答题10．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析] (1)当0<x<80，x∈N＋时，L(x)＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；当x≥80，x∈N＋时，L(x)＝－51x－＋1450－250＝1200－，∴L(x)＝(2)当0<x<80，x∈N＋时，L(x)＝－(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.当x≥80，x∈N＋时，L(x)＝1200－≤1200－2＝1200－200＝1000，∴当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950.综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.一、选择题-7-\n1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14[答案] A[解析] 由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.2．对函数f(x)＝3x2＋ax＋b作代换x＝g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( )A．g(t)＝logt B．g(t)＝()tC．g(t)＝(t－1)2D．g(t)＝cost[答案] A[解析] 只有A中函数的值域与f(x)中x的取值范围一致，即R，所以只有A中函数代换后f(x)值域不变．二、填空题3．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________h，才能开车？(精确到1h)[答案] 5[解析] 设xh后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.3·()x≤0.09，即()x≤0.3，估算或取对数计算得5h后可以开车．4．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[答案] 6 10000-7-\n[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力．(1)M＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A9，A5，则9＝lgA9－lgA0,5＝lgA5－lgA0，两式相减得4＝lgA9－lgA5＝lg，即＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．三、解答题5.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系．[解析] (1)由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s＝×4×12＝24(km)．(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知s＝(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650.t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．6．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次．即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010-7-\n？(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)[解析] 现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；…可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y＝100×()x，x∈N，由100×()x>1010，得()x>108，两边取以10为底的对数，得xlg>8，∴x>，∵≈≈45.45，故经过46小时，细胞总数可以超过1010.-7-
