【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第4节二次函数与幂函数北师大版一、选择题1．(文)函数y＝x的图像是( )[答案] B[解析] 本题考查幂函数图像．当x>1时x<x，排除C、D，当0<x<1时x>x，排除A．(理)如图所示函数图像中，表示y＝x的是( )[答案] D-8-\n[解析] 因为∈(0,1)，所以y＝x的图像在第一象限图像上凸，又函数y＝x是偶函数，故图像应为D．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] ∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，b2－4ac>0，∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．3．(文)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定[答案] C[解析] 因为f(x)满足f(4)＝f(1)，所以二次函数对称轴为x＝＝，又3－＝－2，即x＝3与x＝2离对称轴的距离相等，所以f(3)＝f(2)．(理)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m＋1)的值为( )A．正数 B．负数C．非负数D．与m有关[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝，-8-\n而－m，m＋1关于x＝对称，∴f(m＋1)＝f(－m)<0，故选B．4．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3D．y＝－2(x＋1)2＋3[答案] D[解析] 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.5．幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点(2，)，则f(x)的一个递减区间是( )A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，0)[答案] B[解析] ∵图像过(2，)，则＝2α，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.由y＝x－2图像可知f(x)的减区间是(0，＋∞)．6．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )A．(－，) B．(－，)C．(，)D．[，][答案] C[解析] 由题意，得解得<m<.二、填空题7．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．[答案] －3 9[解析] f(x)＝2(x－)2－.当x＝1时，f(x)min＝－3；当x＝－1时，f(x)max＝9.-8-\n8．(文)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.[答案] [解析] f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，由幂函数f(x)的图像过点，得α＝，则k＋α＝.(理)已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点(－，)在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝______.[答案] ±1[解析] 由题意，设y＝f(x)＝xα，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.9．(文)若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.[答案] 6[解析] 二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为x＝1，即－＝1，所以a＝－4.而f(x)是定义在[a，b]上的，即a，b关于x＝1也是对称的，所以＝1，∴b＝6.(理)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 依题意知，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且开口方向向上，f(0)＝f(2)，结合图像可知，不等式f(m)≤f(0)的解集是[0,2]．三、解答题10．如图，抛物线与直线y＝k(x－4)都经过坐标轴的正半轴上A、B两点，该抛物线的对称轴x＝－1与x轴相交于点C，且∠ABC＝90°，求：(1)直线AB对应函数的解析式；-8-\n(2)抛物线的解析式．[解析] (1)由已知及图形得：A(4,0)，B(0，－4k)，C(－1,0)，又∵∠CBA＝∠BOC＝90°，∴OB2＝CO·AO.∴(－4k)2＝1×4，∴k＝±.又∵由图知k<0，∴k＝－.∴所求直线的解析式为y＝－x＋2.(2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.一、选择题1．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不过原点，则m的取值是( )A．－1≤m≤2 B．m＝1C．m＝2D．m＝1或m＝2[答案] D[解析] 由幂函数的定义，m2－3m＋3＝1，所以m＝1或m＝2.又图像不过原点，所以m2－m－2≤0，解得－1≤m≤2.综上，m＝1或m＝2.2．(文)函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，当cosx＝－1时有最大值，则a的取值范围是( )A．[－1,0] B．[－1,1]C．(－∞，0]D．[0,1][答案] D[解析] ∵函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，∴－1≤a≤1，∵当cosx＝－1时有最大值，∴a≥0，∴0≤a≤1.(理)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )A． B．-8-\nC．[0,3] D．[答案] B[解析] f(x)＝x2－3x－4＝2－，∴f＝－，又f(0)＝－4.由题意结合函数的图像可得，解得≤m≤3.二、填空题3．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.[答案] 2[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．(理)已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________．[答案] {1，－3}[解析] ∵f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，(1)当k>0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；(2)当k<0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.故k的取值集合为{1，－3}．4．(文)(2022·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f(x0)∈D，则称函数y＝f(x)在D上封闭．若定义域D＝(0,1)，则函数①f1(x)＝3x－1；②f2(x)＝－x2－x＋1；③f3(x)＝1－x；④f4(x)＝x，其中在D上封闭的是________．(填序号即可)[答案] ②③④[解析] ∵f1()＝0∉(0,1)，∴f1(x)在D上不封闭，经验证②③④均满足条件．(理)方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．-8-\n[答案] (2，)[解析] ∵∴m＝β＋，∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增加的，∴1＋1<m<2＋，即m∈(2，)．三、解答题5．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．[解析] (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－A．当a>0时，f(x)在[2,3]上为增加的，故⇒⇒当a<0时，f(x)在[2,3]上为减少的，故⇒⇒(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4，∴m≤2或m≥6.6.(文)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．[解析] f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0<a≤1时，⇒a不存在；当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴⇒a不存在．综上可得，存在这样的实数a，且a＝－1.(理)(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．-8-\n[解析] (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A．①由f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，故舍去a＝1，将a＝－代入①，得f(x)＝－x2－x－.(2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－.由a<0，可得f(x)的最大值为－>0，由解得a<－2－或－2＋<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．-8-
