【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十六章几何证明选讲理（含2022试题）理数1.(2022天津,6,5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④[答案]1.D[解析]1.①∠FBD=∠BAD,∠DBC=∠DAC,故∠FBD=∠CBD,即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED∽△AEC,故=,当DE≠CE时,③不成立.④△ABF∽△BDF,故=,即AB·BF=AF·BD,④正确.故①②④正确,选D.2.(2022重庆,14,5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.[答案]2.4[解析]2.设PB=x,由切割线定理得x(x+9)=62,解得x=3或x=-12(舍去).又易知△PAB∽△PCA,于是===⇒AB=4.3.(2022广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=________.[答案]3.9[解析]3.依题意得△CDF∽△AEF,由EB=2AE可知AE∶CD=1∶3.故=9.4.(2022湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=________.22\n[答案]4.4[解析]4.由切割线定理得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,∴QA=2,∵Q为PA的中点,∴PA=2QA=4.故PB=PA=4.5.(2022湖南,12,5分)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O的半径等于________.[答案]5.[解析]5.设AO与BC交于点M,∵AO⊥BC,BC=2.,∴BM=,又AB=,∴AM=1.设圆的半径为r,则r2=()2+(r-1)2,解得r=.6.(2022课标全国卷Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.[答案]6.[-1,1][解析]6.解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤,∴OM2≤2,∴+1≤2,∴≤1,∴-1≤x0≤1.22\n7.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，14）（原创）如图，在中，，，，是的中点，于，的延长线交的外接圆于，则的长为 。[答案]7. [解析]7. 在Rt△ABC中，,解得;同理可得,由射影定理可得，得.根据割线定理可得,得,所以.8.(2022天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，14)如图,切圆于点,交圆于、两点，且与直径交于点，，则 .22\n[答案]8. 15[解析]8. 根据相交弦定理可得，结合条件可得DT=9.根据切割线定理可得①.在Rt△DTP中，②.①②联立得PB=15.9.(2022天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，14)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2,PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD= .[答案]9. [解析]9. 根据切割线定理可得,得.连接OC,在Rt△OCP中,根据射影定理可得PC2=,得PD=3,又因为CD2=,所以CD的长为.10.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，14)如图，、为⊙O的两条割线，若，，，，则等于____________.[答案]10.6[解析]10.由割线定理得，所以，解得或（舍去），由～，所以，所以，解得.11.(2022湖北黄冈高三4月模拟考试，15)（选修4-1：几何证明选讲）已知点在圆22\n的直径的演唱线上，直线与圆相切于，的平分线分别交、于、两点，若，则 .[答案]11. [解析]11. 因为为圆的切线，由弦切角定理，则，又因为平分，则，所以，根据三角形外角定理，，因为是圆的直径，则，所以是等腰直角三角形，所以.12.（2022广东汕头普通高考模拟考试试题，15）如图，,,分别与圆切于点,延长与圆交于另一点，给出下列三个结论：①,②，③～,其中正确结论的序号是___________.[答案]12.①②[解析]12. 如图，,，所以③错，所以正确的序号为①②.范围.22\n13.(2022广东广州高三调研测试，14)（几何证明选讲选做题）如图4，为⊙的直径，，弦交于点.若，，则的长为_______.[答案]13.1 [解析]13. 由已知可得，，，由相交弦定理得：，所以14.(2022北京东城高三第二学期教学检测，10)如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于_______.[答案]14.7[解析]14.由题意可得：,又因为，，所以，.从而。由切割线定理可得，所以.再由相交弦定理，所以.故直径，从而半径为7.15.(2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，16)如图，切⊙O于点，割线经过圆心，弦于点，，则_________.22\n[答案]15.[解析]15. 依题意，由切割线定理，所以，即，所以圆的半径，由为切线，所以，所以，又弦于点，所以.16.（2022湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，15）（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=，BD=4，则线段CF的长为______．[答案]16. [解析]16. 根据切割线定理可得，代入数据得EB=5.因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA=.因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入数据得.17.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，14)如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则 .22\n[答案]17. [解析]17. 延长，又，所以.18.(2022湖北武汉高三2月调研测试，15)（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝ ．[答案]18. [解析]18. 连接由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件可得,又.22\n从而，故∽，,由割线定理知，故，所以答案为.19.(2022湖北八市高三下学期3月联考，15)（选修4-1：几何证明选讲） 如图，如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD= .[答案]19. [解析]19. 由相交弦定理得：,其中为直线与圆另一交点,因为,所以20.(2022重庆七校联盟,14)如图，半径为的圆中，，为的中点，的延长线交圆于点，则线段的长为 ．[答案]20. [解析]20.，由勾股定理求得，由相交弦定理，，，即.21.(2022陕西宝鸡高三质量检测(一),15B)(几何证明选做题)如图，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，连交圆于点，则____________.22\n[答案]21. [解析]21. 由余弦定理，，，根据割线定理，得.22.(2022广州高三调研测试,14)（几何证明选讲选做题）如图4，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为 ．[答案]22. 1[解析]22. 依题意，在中，由勾股定理得，又，由相交线定理，得.23.(2022湖北黄冈高三期末考试)如图，在半径为的圆中，弦、相交于，，，则圆心到弦的距离为 .[答案]23.[解析]23.由相交弦定理得，，，，圆心到弦的距离为.24.(2022江苏,21(A),10分)[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点.证明:∠OCB=∠D.22\n[答案]24.查看解析[解析]24.因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.25.(2022辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.(Ⅱ)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(Ⅰ)得ED=AB.26.(2022课标全国卷Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(Ⅰ)BE=EC;22\n(Ⅱ)AD·DE=2PB2.[答案]26.查看解析[解析]26.(Ⅰ)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=.因此BE=EC.(Ⅱ)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.27.(2022课表全国Ⅰ，22，10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.[答案]27.查看解析[解析]27.(Ⅰ)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(Ⅱ)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(Ⅰ)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.22\n28.(2022山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，22)选修4-1：几何证明选讲 如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为2，（1）求的长；（2）求证：. [答案]28.查看解析[解析]28.（1）延长交圆于点，连结，则，又，所以，又可知，所以根据切割线定理得，即.22\n⑾证明：过作于，则， 从而有，又由题意知所以，因此，即29.(2022山西太原高三模拟考试（一），22)选修4一1：几何证明选讲 如图，已知PA与⊙O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值.[答案]29.查看解析[解析]29.30.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），22)选修4—1：几何证明选讲：如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于、两点，交圆于、两点，过点作垂直于的直线，交直线于点.（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；22\n（Ⅱ）若，,求外接圆的半径.[答案]30.查看解析[解析]30.（Ⅰ）因为为圆一条直径，所以，又，故、、、四点在以为直径的圆上，所以，、、、四点共圆.（4分）（Ⅱ）因为与圆相切于点，由切割线定理得,即，，所以又,则, 得，连接,由（1）可知为的外接圆直径，,故的外接圆半径为.（10分）31.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，22)选修4―1:几何证明选讲如图，是圆的切线，是切点，于，过点的割线交圆于、两点. （Ⅰ）证明：，，，四点共圆； （Ⅱ）设，，求的大小.22\n[答案]31.查看解析[解析]31.（Ⅰ）连结，则.由射影定理得，由切割线定理得，故，即，又，所以～，所以.因此，，，四点共圆. （6分）（Ⅱ）连结.因为，结合（Ⅰ）得. （10分）32.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,22)【选修4－1：几何证明选讲】如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.（Ⅰ）求证：；(Ⅱ)求证：.[答案]32.查看解析22\n[解析]32.（Ⅰ）连结，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以. (5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，连结，又∽，所以即，所以.（10分）33.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，22)选修4-1：几何证明选讲如图，是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、分别交⊙于、两点，连接交于点. （Ⅰ）求证：、、、四点共圆. （Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.[答案]33.查看解析[解析]33.（Ⅰ）连结，则，，，所以，所以，所以四点共圆.（5分）（Ⅱ）因为，则，22\n又为的三等分点，，，又因为，所以，.（10分）34.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，22）选修4—1几何证明选讲:如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。 （I）求证：DE是⊙O的切线； （II）若的值.[答案]34.查看解析[解析]34.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分∴OE⊥OD，又OD为半径 ∴DE是的⊙O切线 ………………………5分 （II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB …………6分设OD=5x，则AB=10x，OH=2x， 由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分又由△AEF∽△DOF 可得22\n ……………………………………………………10分35.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,22)选修4-1:几何证明选讲． 如图，AB是的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是的割线,AC=AB，CE交于点G． (I)证明：； (Ⅱ)证明：FG//AC.[答案]35.查看解析[解析]35.36.(2022吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，22)选修4—1：几何证明选讲．如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点，过点作圆的切线，切点为.（1）求证：四点共圆；（2）若,求的长.22\n[答案]36.查看解析[解析]36. （1）证明：连结，∵是圆的直径，∴，在和中，又∵∴∴四点共圆。（2）∵四点共圆，∴∵是圆的切线，∴∴又因为∴∴.37.(2022江苏苏北四市高三期末统考,21A)如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线的垂线，垂足为，圆与边相切于点.若，求的度数.22\n[答案]37.查看解析[解析]37.由圆与边相切于点，得，因为，得，所以四点共圆,所以.（5分）又，所以，由，得.（10分）38.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,22)选修4-1:几何证明选讲 如图，，，，四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，证明：∥.[答案]38.查看解析[解析]38. 解析 （Ⅰ）四点共圆，，又为公共角，∴∽∴∴. ∴ （6分）（Ⅱ）， ，又，∽，，又四点共圆，，，. （10分）39.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,22)已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．（Ⅰ）求证：平分；22\n（Ⅱ）求的长．[答案]39.查看解析[解析]39.（Ⅰ）连结，因为，所以，因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，所以，，所以平分．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，连结，因为四点共圆，，所以，所以，所以．（10分）40.(2022兰州高三第一次诊断考试,22)选修4—1：几何证明选讲如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点. （Ⅰ）求证：、、、四点共圆；（Ⅱ）求证：[答案]40.查看解析[解析]40.：（Ⅰ）连接、，则又是BC的中点，所以又，所以.所以所以、、、四点共圆. （5分） （Ⅱ）延长交圆于点因为.所以所以. （5分）22
