椭圆的综合运用一、选择题1.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1的离心率为22,则实数m=( )A.2B.8C.4+22D.4-222.(2021河北秦皇岛一中高二上月考,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,且∠F1PF2=π2,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为( )A.x28+y22=1B.x24+y2=1C.x220+y25=1D.x212+y23=13.(2020湖南五市十校高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为( )A.3-1B.3-12C.22D.5-124.(2020山西长治二中高二上期末,)已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点M在直线x-2y=0上,则此椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.325.(多选)(2021江苏扬州中学高二上月考,)已知椭圆C:x2a+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+17二、填空题6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切,且与圆N内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为 . 7.()设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 . 8.(2020广东惠州高二上期末,)椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为 ,此时点P的坐标为 . 6
9.(2021浙江诸暨中学高二月考,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,A,B分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上不同于A,B的点,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则cos(α+β)cos(α-β)= . 三、解答题10.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-1,0),F2(1,0)分别为椭圆C的左,右焦点,M为C上任意一点,S△MF1F2的最大值为1.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.(i)若k2=12,且S△AOB=22,求m的值;(ii)若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.6
答案全解全析一、选择题1.B 由题意,得长半轴长a=m,短半轴长b=2,则c=m-4,所以椭圆的离心率e=ca=m-4m=22,解得m=8.故选B.2.D 由题意,得离心率e=ca=32,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a,因为∠F1PF2=π2,且△F1PF2的面积等于3,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,且|PF1|·|PF2|=6,则|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,可得b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x212+y23=1.故选D.3.A 如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c,∴|PF1|=2a-c,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,∴e2+2e-2=0,解得e=3-1或e=-3-1(舍),故选A.4.C 由y=-x+1,x-2y=0,得x=23,y=13,则AB的中点M23,13.设A(x1,y1),B(x2,y2),则b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,因此b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.∵y1-y2x1-x2=kAB=-1,x1+x2=43,y1+y2=23,∴b2×43-23a2=0,即a2=2b2,∴a2=2(a2-c2),从而a2=2c2,∴e2=12,6
∴e=22,故选C.5.ACD 选项A中,因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1(当Q,F2,P三点共线时,取等号),故A正确;选项B中,若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,所以椭圆方程为x22+y2=1,因为12+11>1,所以点P在椭圆外,故B错误;选项C中,因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a+1b<1,又a-b=1,所以b=a-1,所以1a+1a-1<1,即a2-3a+1>0,所以a>3+52=6+254=(1+5)24,所以a>1+52,所以e=1a<5-12,所以椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12,故C正确;选项D中,若PF1=F1Q,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以9a+1b=1,又a-b=1,所以a2-11a+9=0,解得a=11+852=22+2854=(5+17)24,所以a=5+172,所以椭圆C的长轴长为5+17,故D正确.故选ACD.二、填空题6.答案 x24+y23=1(x≠-2)解析 设动圆圆心为P(x,y),半径为r,由题意得|PM|=1+r,|PN|=3-r,消去r得|PM|+|PN|=4.因此P点的轨迹在以M,N为焦点的椭圆上.设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=2,又c=1,∴b2=3.因此,所求方程为x24+y23=1(x≠-2).7.答案 15解析 在椭圆x225+y216=1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).6
∵|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P,M,F2三点共线时取等号,∴当点P与图中的点P0重合时,有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|=(6-3)2+(4-0)2=5,此时|PM|+|PF1|取最大值,最大值为10+5=15.8.答案 25;(±3,0)(或分开写(-3,0)和(3,0))解析 设F1、F2分别为椭圆的两焦点,m=|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=2a22=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,即点P在短轴端点时,m取最大值25,此时点P的坐标为(±3,0).9.答案 7解析 ∵e=12,∴ca=12,∴a=2c,∴a2=4c2⇒b2=3c2,即b=3c.设P(x0,y0),又A(-a,0),B(a,0),∴tanα=kPA=y0x0+a,tanβ=kPB=y0x0-a,∴tanα·tanβ=y0x0+a·y0x0-a=y02x02-a2.由点P在椭圆上知,y02=b21-x02a2,代入上式,可得tanα·tanβ=b2a2(a2-x02)x02-a2=-b2a2=-34,从而cos(α+β)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=1-tanαtanβ1+tanαtanβ=1+341-34=7.三、解答题10.解析 (1)∵F1(-1,0),F2(1,0)分别为椭圆C的左,右焦点,∴c=1,易知当点M为椭圆的短轴端点时,△MF1F2的面积最大,此时S△MF1F2=12·2c·b=1,则b=1,∴a=2,故椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)联立y=kx+m,x22+y2=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0,得1+2k2>m2(*).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2.6
(i)将k2=12代入(*)得,m2<2,∵m≠0,∴0<m2<2.|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=3(2-m2),设点O到直线l的距离为d,则d=|m|1+k2=2|m|3,∴S△AOB=12|AB|·d=123(2-m2)·2|m|3=22,∴m2=1∈(0,2),∴m=±1.(ii)设直线AF2,BF2的斜率分别为k1,k2,则k1=y1x1-1=kx1+mx1-1,k2=y2x2-1=kx2+mx2-1.由题意得,k1+k2=0,∴kx1+mx1-1+kx2+mx2-1=0,即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,∴2k·2m2-21+2k2+(m-k)-4km1+2k2-2m=0,解得m=-2k,∴直线l的方程为y=k(x-2),故直线l恒过定点,该定点坐标为(2,0).6
