第21讲 转化与化归思想1.设a、b∈R，a2＋b2＝1，则a＋b的最小值是________．答案：－解析：利用≥可得到，也可以用圆的性质来处理．2.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________．答案：3.以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4.函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx的最小正周期为________．答案：π5.等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且＝，则＝________．答案：解析：＝.6.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．答案：解析：点A、C是椭圆的两个焦点，＝＝＝＝.7.设a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值是________．答案：2－2解析：由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2.2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2－2.8.已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、D.若AB＝BC，则实数t的值为________．答案：－9.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为____________．答案：2－＜b＜2＋解析：f(a)＝ea－1＞－1，g(b)＝－b2＋4b－3＞－1，故－1＜g(b)＜1，解得2－＜b＜2＋.10.已知x、y为正数，则＋的最大值为______________．答案：11.在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知sinB(tanA＋tanC)＝-8-\ntanAtanC.(1)求证：a、b、c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.(1)证明：由已知得sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，则sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，则sin2B＝sinAsinC，再由正弦定理可得b2＝ac，∴a、b、c成等比数列．(2)解：若a＝1，c＝2，则b2＝ac＝2，∴cosB＝＝，sinB＝＝，∴△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.12.设a≥0，f(x)＝x－1－ln2x＋2alnx(x>0)．(1)令F(x)＝xf′(x)，讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值；(2)求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.(1)解：根据求导法则，有f′(x)＝1－＋，x＞0，故F(x)＝xf′(x)＝x－2lnx＋2a，x＞0，于是F′(x)＝1－＝，x＞0.列表如下：x(0，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值F(2)故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F(2)＝2－2ln2＋2a，无极大值．(2)证明：由a≥0知F(x)的极小值F(2)＝2－2ln2＋2a＞0.于是由上表知，对一切x∈(0，＋∞)，恒有F(x)＝xf′(x)＞0.从而当x＞0时，恒有f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)内单调增加．所以当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，即x－1－ln2x＋2alnx＞0，故当x＞1时，恒有x＞ln2x－2alnx＋1.13.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(1，1)．(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P、Q，满足OP⊥OQ.①已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y＝x2－m的图象过点M.点A、B在该图象上，当A、O、B三点共线时，求△MAB的面积S的最小值．解：(1)由e＝，所以a∶b∶c＝∶1∶1.设椭圆方程为＋＝1，将(1，1)代入得＋＝1，所以b2＝，a2＝3，椭圆方程为＋＝1.(2)①x2＋y2＝1.②由题意，二次函数为y＝x2－1.设直线AB的方程为y＝kx.-8-\n由消去y得，x2－kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－1.所以S＝OM·|x2－x1|＝＝.当k＝0时，△MAB的面积S的最小值为1.-8-\n滚动练习(七)1.已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}．若AB，则实数m＝________．答案：1解析：m2＝2m－1m＝1.2.双曲线x2－＝1的渐近线方程为________．答案：y＝±2x3.若复数z＝1－mi(i为虚数单位，m∈R)，z2＝－2i，则复数z的虚部为________．答案：－1解析：由z2＝－2i，得(1－m2)－2mi＝－2i，∴m＝1.4.若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11＝，则tana6＝________．答案：－解析：S11＝＝×11＝11a6，a6＝，tana6＝－.5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5上的概率为________．答案：解析：这是一道典型的古典概率题，P＝＝.6.执行右边的程序框图，若P＝15，则输出的n＝________．答案：57.函数f(x)＝x－2lnx的单调递增区间为________.答案：(2，＋∞)解析：函数f(x)＝x－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＞0，解得x＞2，故函数单调递增区间为(2，＋∞)．8.已知函数f(x)＝则f[f()]＝________．答案：解析：f＝log2＝－2，f＝f(－2)＝3－2＝.9.设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π.若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝________．答案：解析：|a|＝|b|＝1，由|2a＋b|＝|a－2b|，得(2a＋b)2＝(a－2b)2，∴a·b＝0，即cos-8-\nαcosβ＋sinαsinβ＝0，亦即cos(β－α)＝0.又0＜β－α＜π，∴β－α＝.10.已知实数x、y，满足xy＝1，且x＞2y＞0，则的最小值为__________．答案：411.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取值范围是________．答案：解析：PF2＝2c，∈(1，2)，＜c＜，椭圆的离心率e＝＝1－∈.12.设函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝lnx.若在区间[1，9)内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得＝＝＝t，则实数t的取值范围为______________．答案：解析：当x∈[3，9)时，f(x)＝f＝lnx＝lnx－ln3.设直线y＝tx与曲线f(x)＝lnx－ln3相切于(x0，f(x0))，则t＝＝f′(x0)＝，解得x0＝3e，于是t1＝.另一方面，x∈[3，9)时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t2＝.作出示意图可知，t介于t1与t2之间．故答案为.13.在锐角三角形ABC中，已知内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且tanA－tanB＝(1＋tanAtanB)．(1)若c2＝a2＋b2－ab，求∠A、∠B、∠C的大小；(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求|3m－2n|的取值范围．解：由已知，得＝，∴tan(A－B)＝.∵0＜A＜，0＜B＜，∴－＜A－B＜，∴A－B＝.(1)由已知，得cosC＝＝，∴∠C＝.由解得∠A＝，∠B＝.∴∠A＝，∠B＝，∠C＝.(2)(3m－2n)2＝9m2＋4n2－12m·n＝13－12(sinAcosB＋cosAsinB)-8-\n＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin.∵△ABC为锐角三角形，A－B＝，∴C＝π－A－B<，A＝＋B<.∴＜B＜，＜2B＋＜.∴sin∈.∴|3m－2n|2＝13－12sin∈(1，7)．∴|3m－2n|的取值范围是(1，)．14.如图，已知三棱锥ABPC中，AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC;(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥DBCM的体积．(1)证明：由已知得MD是△ABP的中位线，∴MD∥AP.∵MD平面APC，AP平面APC，∴MD∥平面APC.(2)证明：∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，∴MD⊥PB，∴AP⊥PB.∵AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC平面PBC，∴AP⊥BC.∵BC⊥AC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.(3)解：由题意可知MD⊥平面PBC，∴MD是三棱锥DBCM的高．又△PMB为正三角形，∴BP＝BM＝10.易知BC⊥PC，CP＝＝2，S△BCD＝S△BCP＝2，h＝MD＝BP＝×10＝5.∴VMDBC＝Sh＝10.15.某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其中图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间的关系式；-8-\n(2)每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？① ② ③解：(1)f(t)＝g(t)＝－t2＋6t，0≤t≤40.(2)设每件产品A的销售利润为q(t)，则q(t)＝从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为Q(t)＝①当0≤t≤20时，Q′(t)＝－t2＋48t＝≥0，∴Q(t)在区间[0，20]上单调递增，此时Qmax(t)＝Q(20)＝6000.②当20＜t≤30时，Q(t)＝－9＋6400，t∈N*，∴Qmax(t)＝Q(27)＝6399.③当30＜t≤40，Q(t)＜Q(30)＝6300.综上所述，Qmax(t)＝Q(27)＝6399.故第27天这家公司的日销售利润最大，最大值为6399元．16.平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点F1(0，－c)、F2(0，c)、A(c，0)三点，其中c＞0.(1)求圆M的标准方程(用含c的式子表示)；(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)(其中a2－b2＝c2)的左、右顶点分别为D、B，圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．-8-\n解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．则由题设，得解得圆M的方程为x2＋y2－cx－c2＝0，圆M的标准方程为＋y2＝c2.(2)①圆M与x轴的两个交点A(c，0)、C，又B(b，0)，D(－b，0)，由题设即∴解得＜＜，即＜e＜.∴椭圆离心率的取值范围为.②由(1)，得M.由题设，得c－b＝b－c＝c，∴b＝c，D.∴直线MF1的方程为－＝1，直线DF2的方程为－＋＝1.由以上两式，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c，3c)，易知kOQ＝为定值，∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y＝x上．-8-
